Relatividad - Recinto Universitario de Mayagüez

Relatividad - Recinto Universitario de Mayagüez

Relatividad Prof. Luis Torres 1 Objetivo terminal: Al finalizar la discusin: Ampliarn sus conocimientos fsicos sobre la importancia de la relatividad en la investigacin cientfica.

Demostrarn su dominio en la resolucin de problemas relacionados con frmulas dentro del proceso de relatividad. 2 La Relatividad TEORIA QUE DESARROLLO ALBERT EINSTEIN PARA TRATAR EVENTOS FISICOS QUE LA FISICA CLASICA NO PUEDE EXPLICAR

3 Introduccin: Hacia el final del siglo XIX los cintificos estaban convencidos de que haban aprendido la mayor parte de lo que se necesitaba conocer acerca de la fsica, las leyes de movimiento de Newton y su Teora de la Gravitacin Universal.

El trabajo de Maxwell en la unificacin de la electricidad y el magnetismo, as como las leyes de la termodinmica y la teora cintica tuvieron un gran xito en la explicacin de una amplia variedad de fenmenos. 4

Al comenzar el Siglo XX la ciencia se impacto por una nueva revolucin del pensamiento cientfico. En 1900 Planck brind las ideas bsicas que llevaron a formular la Teora Cuntica. En 1905 Albert Einstein formul la Teora de la Relatividad. Las dos teoras tuvieron un profundo efecto en nuestra comprensin de la naturaleza. Pero la historia no termina an. Los descubrimientos continan surgiendo y la teora se amplifica haciendo mucho ms profunda nuestra comprensin

del mundo natural. 5 La mayor parte de nuestras experiencias y observaciones cotidianas se relacionan con objetos que se mueven a velocidades mucho menos que la velocidad de la luz.

Las primeras ideas sobre el espacio, el tiempo y la mecnica Newtoniana se formularon para describir el movimiento de dichos objetos. La mecnica newtoniana fracasa cuando se aplica a partculas cuyas velocidades se acercan a la velocidad de la luz. 6

Es posible acelerar un electrn a una velocidad de 0.99c empleando una diferencia de potencial de varios millones de voltios. De acuerdo con la mecnica Newtoniana, si la diferencia en potencial se incrementa por un factor de cuatro, la velocidad del electrn debe ser 1.98C. Pero la velocidad del electrn al igual que las velocidades de otras partculas en el universo, siempre permanece menor que

la velocidad de la luz independientemente del voltaje de aceleracin. 7 La mecnica Newtoniana es contraria a los resultados experimentales modernos debido a que no impone un lmite

superior a la velocidad de la luz. La teora de la relatividad surge de la necesidad de resolver contradicciones serias y profundas en la vieja teora de las cuales parece no haber salida. La teora Newtoniana slo es un caso especial de la teora de la relatividad. 8 El Principio de la Relatividad Newtoniana 9

Marco Inercial: Un marco inercial es aquel en el cual la primera Ley de Newton es vlida. 10 No hay un marco inercial privilegiado:

Esto significa que los resultados de un experimento efectuado en un auto que se mueve con velocidad constante son iguales a los resultados de un experimento que se lleve a cabo en un auto en reposo. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD NEWTONIANA Las leyes de la mecnica deben ser las mismas en todos los marcos inerciales 11

Considere dos marcos inerciales S y S1 S1 S z z1 vt y

0 Figura 1 P{evento} x1 x x v

x1 0 1 y1 12 El sistema S1 se mueve con una velocidad

constante v a lo largo de los ejes xx1, donde v se mide en relacin con S. Suponga que un evento ocurre en el punto P y que los orgenes de S y S1 coinciden en t = 0, un observador en S describe el evento con unas coordenadas espacio tiempo, (x, y, z, t) en tanto que un observador en S1 emplea las coordenadas espacio tiempo (x1, y1, z1, t1) para describir el mismo evento.

13 Deseamos poder transformar estas coordenadas de un marco inercial a otro. De la figura 1 estas coordenadas se relacionan por medio de las ecuaciones. x = x1 + vt y = y1 z = z1

t = t1 Es lo mismo que: x1 = x - vt y 1 = y z 1 = z t1 = t Transformacin de coordenadas galileana 14

Dentro de el marco de la mecnica clsica, todos los relojes funcionan al mismo tiempo sin que la velocidad entre los marcos inerciales importe; de modo que el tiempo durante el cual ocurre un evento para un observador en (S) es el mismo tiempo para el mismo evento en (S1).

Como consecuencia el intrvalo de tiempo entre dos acontecimientos sucesivos debe ser el mimo para ambos observadores. 15 sta suposicin se vuelve incorrecta cuando tratamos situaciones en las cuales (v) es comparable a la

velocidad de la luz. El punto de tiempos iguales representa una de las profundas diferencias entre los conceptos de la teora newtoniana y los conceptos de la teora de la relatividad. 16

Suponga que dos eventos estn separados a una distancia (dx) y un intrvalo de tiempo (dt) de acuerdo como lo mide un observado en (S). Se deduce de la ecuacin x1 = x vt que la distancia recorrida (dx1) medida por un observador en S1 es:

dx1 = dx vdt donde dx es la distancia entre los dos eventos medida por un obsevador en S. 17 Puesto que dt = dt1 dx1 = dx dt dt

dx1 = dx dt dt u1 x = ux - vdt dt v v Donde u1 y u son las velocidades instantneas del evento en relacin S1 y S, respectivamente, v es la velocidad el marco

inercial S1 desde el punto de vista del observador en S. LEY GALILEANA DE ADICIN DE VELOCIDADES (transformacin galileana de velocidades 18 Velocidad de la Luz 19 Albert Michelson (1852-1931) Edward W. Morley (1838-1923)

Idearon un experimento que accidentalmente elimin de un plumazo la teora del ter como marco inercial absoluto, y con esto la posibilidad de que la luz tuviera diferentes velocidades en diferentes marcos inerciales. 20 Olaf Roemer (1644-1710)

Astrnomo dans midi la velocidad de la luz, observando el eclipse de una de las lunas de Jpiter. Concluy que la velocidad de la luz es 3 x 108 m/s en el sistema S I. 21 Albert Michelson

Se le debe la primera medicin exacta de la velocidad de la luz calculada en la tierra. Utiliz un rayo de luz y un espejo rotativo de 8 caras (f = 625 rev/s). Desde luego la velocidad de la luz fue de

3.0 x 108 m/s.1 1-Raymond A. Serway/ IV Edici n / Pgs. 1159-1161 22 Principio de relatividad de Einstein 23 Albert Einstein propuso la teora de

la relatividad especial que elimina esta dificultad y al mismo tiempo alter por completo la nocin del tiempo. ste fundament su teora en dos postulados. 24 Postulado #1: Todas las leyes de la fsica son las mismas en todos los marcos inerciales.

25 Postulado #2 La velocidad de la luz es c en todos los marcos inerciales. (c = 3 x 108 m/s en el SI) 26 Simultaneidad y relatividad del tiempo Una premisa bsica de la mecnica

newtoniana es que existe una escala de tiempo universal que es la misma para todos los observadores. La mecnica relativista propone, que una medida del intrvalo de tiempo depende del marco de referencia en el cual se efecta medida. 27 Figura 2

a) b) v 01 A1 01 B1 A

0 v B1 A 1 B

A 0 B Un vagn se mueve con velocidad uniforme y dos rayos inciden sobre sus extremos, el observador estacionario dice que los rayos inciden a la misma vez mientras que el observador en el vagn dice que el rayo incide en B1 28 primero que en A1

Dos eventos que son simultneos en un marco de referencia no son en general simultneos en un segundo marco de referencia que se mueve en relacin con el primero. La simultaneidad no es un concepto absoluto si no que depende del marco de referencia del observador.

Ambos observadores tienen razn cuando explican el evento desde sus respectivos marcos de referencias. 29 Qu dice el Principio de la Relatividad? 30

El principio de la relatividad dice que no hay un marco inercial privilegiado, o sea, las leyes de la fsica son las mismas en cualquier marco inercial y la simultaneidad no es absoluta. 31 Figura 3 Dilatacin del Tiempo 32

Un observador dispara un rayo hacia un espejo desde su marco de referencia que se mueve con velocidad uniforme respecto a ste. El tiempo que se tarda el rayo en ir al espejo y regresar t1= 2d/c. 33 De acuerdo con el observador estacionario el

lser se mueve a la derecha con una velocidad v y la distancia total es: dt = dh + ( c t )2 = ( v ( c t )2 - ( v (c t )2 - ( v d t )2 + d2 t )2 = d2 t )2 = d2

4 (c t )2 - ( v t )2 = 4d2 t 2 - ( c - v 2 ) = 4d2 t = 4d 2 c2 - v 2 t = 2d c2 - v 2 t = 2d

c 1- v2 c2 34 Como t1 = 2d sustituyendo c 35 Este resultado nos dice que el intrvalo de tiempo t medido por un observador que se mueve respecto del reloj es ms

largo que el intrvalo de tiempo t1 medido por el observador en reposo respecto del reloj debido a que es siempre ms grande que la unidad. Esto es t > t1. Este efecto se conoce como la dilatacin del tiempo. 36 La dilatacin del tiempo es un fenmeno verificable. Por ejemplo los muones son partculas elementales inestables que tienen una carga igual a la del electrn y 207 veces su masa. stos se producen por el choque

de radiacin csmica con tomos a gran altura en la atmsfera. Tienen una vida media de 2.2 ss cuando se mide en un marco de referencia en reposo relativo a ellos. Si la vida media de un mun es 2.2 ss y suponemos que su velocidad es cercana a la de la luz encontramos que estas partculas slo pueden recorrer una distancia de aproximadamente 600m antes de su decaimiento. Entonces stos no pueden alcanzar la tierra desde la altura en la atmsfera donde se producen (4,800m). 37

El fenmeno de dilatacin del tiempo explica este evento. En relacin con un observador en tierra los muones tienen un tiempo de vida t donde t = 2.2 ss es el tiempo de vida media en un marco de referencia que viaja con los muones.

Por ejemplo si, v = 0.999c, = 7.1 y t = 16s. Entonces la distancia recorrida es tv = 4,800m. 38 En el 1976 se inyectaron muones en el (CERN) laboratorio del Consejo Europeo para la Investigacin Nuclear en Ginebra Suiza.

stos alcanzaron velocidades aproximadamente 0.9994C. Los electrones producidos por los muones en decaimiento fueron detectados mediante contadores alrededor del anillo, lo que permiti a los cientficos medir la taza de decaimiento y por consiguiente el tiempo de vida del mun.

de 39 El tiempo de vida de muones en movimiento se midi y se encontr que era 30 veces mayor que el de un mun estacionario. Esto

concuerda con la prediccin de la teora de la relatividad dentro de dos partes en mil. 40 Contraccin de la longitud La distancia medida entre dos puntos, depende del marco de referencia.

La longitud propia (Lp) de un objeto se define como la longitud del objeto medida por alguien que esta en reposo respecto del objeto. La longitud de un objeto medida por alguien en un marco de referencia que se mueve respecto del objeto, siempre es menor que la longitud propia. 41 Figura 4

42 Considere una nave espacial que viaja con velocidad v de una estrella a otra. Hay dos observadores uno en la tierra y otro en la nave espacial. El observador en reposo en la tierra (que se supone que est en

reposo respecto a las dos estrellas mide la distancia entre las estrellas Lp). De acuerdo con este observador el tiempo que tarda la nave en completar el viaje es L p/ v 43 Qu distancia entre las estrellas mide el observador en la nave espacial?

Debido a la dilatacin del tiempo, el viajero espacial mide un tiempo de viaje ms pequeo t1 = t / . El viajero espacial afirma que est en reposo y que ve la estrella de destino movindose hacia la nave espacial con velocidad v. Debido a que el viajero espacial alcanza la estrella en un tiempo t1 concluye que la

distancia L es ms corta que Lp. 44 Esta distancia L medida por el viajero espacial es: 45 Esta ecuacin significa, que si un objeto tiene una longitud Lp cuando est en reposo, entonces al moverse con

velocidad v en una direccin paralela a su 46 Ecuaciones de Transformacin de Lorentz. 47 Las

transformaciones galileanas no son vlidas cuando v se aproxima a la velocidad de la luz (c). Estableceremos las ecuaciones de transformacin correctas que son vlidas para todas las velocidades en el intervalo o v < c 48 Figura 5.

49 Suponga que un evento que ocurre en algn punto P se informa por dos observadores uno en descanso en el marco S y otro en el marco S1 que se mueve hacia la derecha con velocidad v (figura 5).

El observador en S, informa sobre el evento con coordenadas espacio-tiempo (x, y, z, t). Mientras el observador en S1 informa sobre el mismo evento empleando las coordenadas (x1, y1, z1, t1). Deseamos encontrar una relacin para estas coordenadas que sea vlida para todas las velocidades. 50 Las ecuaciones que son vlidas para

o v < c y que nos permiten transformar las coordenadas de S a S1 estn dadas por las ecuaciones de transformacin de Lorentz. 51 Las coordenadas y y z no son

afectadas por el movimiento a lo largo de la direccin x. Aunque el movimiento a lo largo de x no cambia las coordenadas y y z, si cambia los componentes de velocidad a lo largo de y y z. 52 Estas ecuaciones las

desarroll Hendrick A. Lorenz (1853-1928) pero fue Einstein quien reconoci su significado fsico y di el audaz paso de interpretarlas dentro del marco conceptual de la teora de la relatividad.

53 Vemos que el valor de t1 asignado a un evento por un observador en O1 depende tanto del tiempo t como de la coordenada x segn los mide un observador en O. Esto es consistente con la nocin de que un evento est caracterizado por cuatro

coordenadas espacio tiempo (x, y, z, t). En otras palabras en la relatividad el espacio y el tiempo no son conceptos separados sino que estn estrechamente vinculados uno con el otro. 54 Si deseamos

transformar las coordenadas del marco S1 en coordenadas del marco S, simplemente sustituimos v por v e intercambiamos las coordenadas prima y no prima en la ecuacin. 55 Ecuacin 56

x1 = x - vt y1 = y z1 = z t1 = t 57 En muchas situaciones deseamos conocer la diferencia en coordenadas entre dos eventos en el intrvalo de tiempo entre dos eventos de acuerdo a como lo ven los observadores O y O1.

A partir de las ecuaciones de Lorentz podemos expresar la diferencia entre los cuatro variables ( x, x1, y, y1 ) de la forma: 58 Donde x1 = x12 - x11 y t1 = t12 - t11, son las diferencias medidas por el observador en O1 , mientras que x = x2 x1 y t = t2 - t1 son las diferencias medidas por el observador en O. NOTA: No se incluye las expresiones para relacionar las coordenadas y y z debido a que no son afectadas por el

59 movimiento a lo largo de la direccin x. Transformacin de velocidades de Lorentz 60 La transformacin de velocidades de Lorentz es la contraparte relativista de la transformacin de velocidades galileana.

En este caso S es el marco de referencia estacionario y S1 es el marco de referencia que se mueve a una velocidad v relativa a S. Suponga que se observa un objeto en el marco S1 con una velocidad 61

Dada las ecuaciones: 62 y sustituyendo estos valores en u1x = dx1/ dt1 obtenemos 63 por lo que esta ltima expresin se convierte en:

De manera similar, si el objeto tiene componentes de velocidad a lo largo de y z la componente en s son: 64 En el caso de que ux y v sean mucho ms pequeas que c (caso no relativista) el denominador de la ecuacin A, se aproxima a la unidad y u1x = ux v que es la ecuacin para la transformacin de velocidades galileanas.

x En el otro extremo cuando ux u1x = . ux v . (1 v ux ) = c la ecuacin se transforma en x c2 65

66 A partir de este resultado, vemos que un objeto que se mueve con una velocidad c relativa a un observador en S tiene tambin una velocidad c relativa a un observador S1 independientemente del movimiento relativo de S y S1. Esta conclusin es consistente con el segundo postulado de Einstein que dice que la

velocidad de la luz es c en todos los marcos inerciales y que la velocidad de la luz es la velocidad lmite. 67 Momento relativista y forma relativista de las Leyes de Newton 68

Para describir propiamente el movimiento de partculas dentro del esquema de la relatividad especial, las transformaciones galileanas deben de sustituirse por las transformaciones de Lorentz. Debido a que las leyes de la fsica deben permanecer invariables bajo las transformaciones de Lorentz, debemos, generalizar las Leyes de Newton y las definiciones de momento y energa para ajustarlas a la transformacin de Lorentz y al principio de la relatividad.

Estas definiciones generalizadas deben poder reducirse a las definiciones clsicas (para v << c). 69 Se define el momento de una partcula en S como p = mu donde es la masa de la partcula en Kg. U es la velocidad << c expresada en m s

70 NOTA: Las unidades de p son Nos En un sistema relativista donde u ~ c se modifica el momento clsico p = mu por el momento relativista. 71 La

transformacin del momento relativista de la partcula es a partir del marco del observador que se mueve a velocidad u respecto de la partcula. La fuerza relativista F sobre una partcula cuyo momento es p se define como:

72 73 Energa relativista Hemos visto que la definicin de momento y las leyes de momento de acuerdo a la mecnica clsica requieren

de una generalizacin para hacerlas compatibles con el principio de la relatividad. Esto significa que la definicin de energa cintica debe de modificarse. 74

Cuando una fuerza hace trabajo sobre una partcula aumenta su energa cintica y tambin causa que su masa aumente por una cantidad igual al aumento en energa dividido por c2. Para una partcula de masa m acelerando a lo largo de una lnea recta bajo la accin de una fuerza constante F, el trabajo sobre la partcula es igual al cambio en energa cintica. 75

Trabajo hecho = fuerza - distancia 76 77 78 79 80

81 KE expresa la energa cintica relativista y se confirma rutinariamente mediante experimentos que emplean aceleradores de partculas de alta energa. 82 Podemos verificar esto empleando la expansin del binomio ( 1 x2 ) - 1 + x2 + ... para x << 1 donde las potencias de orden mas alto de x se desprecian en la expansin.

83 84 En la ecuacin KE = m0 c2 - m0 c2 , el termino m0 c2 es independiente de la velocidad y se llama energa en reposo de la partcula libre. Despejando para m0 c2 en la ecuac. KE = m0 c2 - m0 c2 obtenemos: m0 c2 = KE + m0 c2 Se define m0c2 como la energa total E E

= KE + m0 c2 pero, 85 m0 = m entonces, E = m c2

En muchas situaciones el momento o la energa de una partcula se mide en lugar de su velocidad por consiguiente es til tener una expresin que relacione la energa total E con el momento relativista p. E2 = ( m0 c2 ) 2 + p 2 c2 86

Esta ecuacin se deriva de la siguiente forma: 87 La forma clsica para la energa que se relaciona con el momento de la partcula es: E = p2 Nota: 2M

88 Para el caso de partculas que tienen masa cero la ecuacin: E2 = ( m0 c2 ) 2 + p2 c2 se convierte en: E2 = p2 c2 E = pc Esta ecuacin es una expresin exacta que

relaciona la energa y el momento para neutrinos y fotones que viajan siempre a la velocidad de la luz. 89 La masa mo de una partcula es o independiente de su movimiento, mo debe de tener el mismo valor en todos los marcos de referencia por lo tanto mo se le llama masa invariante.

Por otra parte la energa y el momento totales de una partcula dependen del marco de referencia en el cual se miden, ya que ambos dependen de la velocidad. 90 De acuerdo a la ecuacin E2 = m0 2c4 + p2 c2, la cantidad E2 - p2 c2 = m0 2c4 debe tener el mismo valor en todos los marcos de referencia, ya que depende de la masa en reposo y la velocidad de la luz, ambas cantidades invariantes en cualquier marco de

referencia. Entonces E2 - p2 c2 es invariante bajo una transformacin de Lorentz. 91 Cuando trabajamos con partculas subatmicas es conveniente expresar su energa en electrn voltios (eV) debido a que las partculas ganan energa mediante aceleracin producida por una diferencia de potencial. 1eV = 1.60 x 10 -19 J

92 Ejemplo: La masa de un electrn es 9.11 v10-31 Kg., entonces la energa en reposo del electrn es: moc2 = (9.11 v10-31) (3 x 108) Kg. m2/s2 = 8.20 x 10-14 J Al convertir esta energa a eV lo hacemos de la siguiente manera: 8.20 x 10-14 J 1eV_____ = 0.511 MeV 1.60 x 10 -19 J

93 Equivalencia de la Masa y la Energa 94 Para entender la equivalencia de la masa y la energa, considere el siguiente

experimento pensado, propuesto por Einstein al desarrollar su ecuacin: E = mc2 95 Imagine una caja de masa M y longitud L como en la figura a. Suponga que un pulso de la luz se emite desde el lado izquierdo de la caja (figura B) de la 96 Suponiendo que la caja es muy masiva, la

velocidad de retroceso v es muy pequea comparada con la velocidad de la luz y la conservacin del momento produce. Momento de la caja = momento del pulso de luz 97 El tiempo que tarda la luz en recorrer la longitud de la caja es 98

Sustituyendo v = E/Mc x = v t t = L/c x = EL/Mc2 99 La luz incide despus en el extremo derecho de la caja y le transfiere su momento haciendo que sta se detenga.

Con la caja en su nueva posicin, en apariencia su centro de masa se movi hacia la izquierda. Sin embargo, su centro de masa no puede moverse debido a que la caja es un sistema aislado Einstein resolvi esta situacin suponiendo que adems de energa y momento la luz tambin conduce masa. Si m es la masa equivalente que conduce el pulso de luz y el centro de masa se mantiene fijo entonces:

100 101 Despejando para E obtenemos E = mc2 De este modo lleg a la conclusin de que si un cuerpo brinda su energa E en forma de radiacin su masa disminuye en E/c2 , por lo tanto la masa de un cuerpo es la medida de su contenido energtico. 102

Se concluye que la masa vara con la velocidad relativa al observador. Debemos distinguir entre la masa en reposo mo, que es la masa medida por un observador en reposo relativo a la partcula (y en la misma posicin) y la masa medida en experimentos reales. 103

Para una partcula libre m = m0 nos brinda la masa de una partcula experimentalmente. En el caso de un gran objeto, cuyo centro de masa esta en reposo respecto del observador m = E im0.

En cualquier proporcionada por entre c2. caso la masa real es la energa total E dividida 104 La ecuacin E = m0 c2 sugiere que cuando una partcula esta en reposo (= 1) este sigue

poseyendo una gran energa ( m0 c2 ). Prueba de esto esta en las reacciones nucleares y colisiones de partculas elementales donde se liberan grandes cantidades de energa acompaadas por la liberacin de masa.

105 E = mc2 pero m = m0 106 Problemas 107

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