ENGENHARIA DE PROCESSOS Anlise, Simulao e Otimizao de

ENGENHARIA DE PROCESSOS Anlise, Simulao e Otimizao de

ENGENHARIA DE PROCESSOS Anlise, Simulao e Otimizao de Processos Qumicos CAPTULO 7 SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 25 de abril de 2017 ORGANIZAO DO TEXTO/DISCIPLINA 1 INTRODUO GERAL ENGENHARIA DE PROCESSOS ANLISE DE PROCESSOS 2 6 INTRODUO INTRODUO ANLISE DE PROCESSOS 3 4 ESTRATGIAS AVALIAO DE CLCULO ECONMICA SNTESE DE PROCESSOS SNTESE DE PROCESSOS 5 OTIMIZAO X SNTESE DE

SISTEMAS DE REATORES 7 SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 8 Y SNTESE DE SNTESE DE SISTEMAS DE SISTEMAS DE INTEGRAO INTEGRAO ENERGTICA MSSICA CONTEXTO Na Engenharia de Processos o Processo Qumico visto como um SISTEMA Como todo Sistema o Processo constitudo de elementos (equipamentos) conexes (correntes) e finalidade. Finalidade: produzir um produto qumico em escala industrial de forma econmica, segura e limpa. Matria prima Processo Qumico Produto

A Finalidade cumprida atravs de 4 Subsistemas integrados Separao Reao Controle Integrao (a) Reao: responsvel pela modificao do conjunto de espcies, fazendo aparecer o produto principal. Separao Reao Controle Integrao (b) Separao: responsvel pelo ajuste de composio das correntes, separando o produto dos sub-produtos e do excesso de reagentes. Separao Reao Controle Integrao (c ) Integrao: responsvel pela movimentao de matria e ajustes de temperatura das correntes. Separao Reao Controle Integrao (d) Controle: responsvel pela operao segura e estvel do processo. Este Captulo trata do Sistemas de Separao Separao Na sequncia do Projeto, pelo Mtodo Hierrquico, depois de definidos os Sistemas da Reatores ...

gerado o Fluxograma Embrio A B C D E P A+BC+D R1 -1 -1 +1 +1 0 0 C+EP+D R2 0 0 -1 +1 -1 1 +2

-1 1 100 A 100 B 100 D S1 G -1 150 A 100 C 150 B 100 D -1 R1 150 A 0 250 B 250 A M1 100 B 100 C Fluxograma Embrio 100 P S2 100 D 100 P 100 D 100 C 25 C 25 E R2 125 E 125 C 25 C 25 E M2 100 E

04 150 A T4 S1 01 100 A 100 B M1 To2 02 Td2 250 A 250 B R1 To3 03 Td3 D1 150 A 100 C 150 B 100 D 1O0 C 150 B 100 D T1 05 D2 T5 07

150 B T7 Em seguida, so detalhados os Sistemas de Separao T6 08 Td12 D4 100 P T15 14 D5 16 100 D T16 09 100 C T9 100 D T8 13 25 C 25 E T13 15 S2 150 B 100 D

06 D3 100 P 100 D T14 Td11 11 To11 To12 12 25 C 25 E 100 P 100 D R2 125 C 125 E M2 10 100 E T10 Objeto deste Captulo PR - REQUISITOS PARA ESTE CAPTULO FUNDAMENTOS Estudo dos fenmenos de interesse que ocorrem nos equipamentos Mecnica dos Fluidos Transferncia de Calor Transferncia de Massa Cintica Qumica Termodinmica (Modelos Matemticos) CINCIAS BSICAS FUNDAMENTOS ENGENHARIA DE EQUIPAMENTOS

Projeto e Anlise dos Equipamentos de Processo CINCIAS BSICAS FUNDAMENTOS ENG. DE EQUIPAMENTOS Reatores Trocadores de calor Separadores Torres de destilao Torres de absoro Extratores Cristalizadores Filtros Outros... Instrumentos de Controle Automtico NDICE Reparem a semelhana com o ndice do Captulo X A mesma estrutura para todos os Captulos de Sntese Uma caracterstica impar deste Livro/Disciplina X. SNTESE DE SISTEMAS DE REATORES X.1. Sistemas de Reatores X.2. O Problema de Sntese X.2.1 Enunciado X.2.2 Soluo X.2.3 A Natureza Combinatria do Problema de Sntese X.3. Representao do Problema X.3.1 rvores de Estados X.3.2 Superestrutura X.4. Resoluo do Problema X.4.1 Mtodo Heurstico X.4.2 Mtodo Evolutivo X.4.3 Mtodo da Busca Orientada por rvore de Estados X.4.4 Mtodo de Otimizao de Superestrutura X.4.5 Mtodo da Attainable Region 7. SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 7.1 Sistemas de Separao 7.2 O Problema de Sntese 7.2.1 Enunciado 7.2.2 Problema Ilustrativo 7.2.3 Soluo 7.2.4 A Natureza Combinatria do Problema de Sntese

7.2.5 Representao Misturas por Listas 7.3 Representao do Problema de Sntese 7.3.1 Representao por rvores de Estado 7.3.2 Representao por Superestrutura 7.4 Resoluo pelo Mtodo Heurstico 7.4.1 Regras Heursticas para Sistemas de Separao 7.4.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo Heurstico 7.5 Resoluo pelo Mtodo Evolutivo 7.5.1 Regras Evolutivas 7.5.2 Estratgia Evolutiva 7.5.3 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo Evolutivo 7.6 Resoluo por Mtodo de Busca Orientada por rvore de Estados 7.6.1 O Mtodo Branch-and-Bound 7.6.2 O Mtodo de Rodrigo & Seader 7.6.3 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo de Rodrigo & Seader 7. SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 7.1 Sistemas de Separao 7.2 O Problema de Sntese 7.2.1 Enunciado 7.2.2 Problema Ilustrativo 7.2.3 Soluo 7.2.4 A Natureza Combinatria do Problema de Sntese 7.2.5 Representao Misturas por Listas 7.3 Representao do Problema de Sntese 7.3.1 Representao por rvores de Estado 7.3.2 Representao por Superestrutura 7.4 Resoluo pelo Mtodo Heurstico 7.4.1 Regras Heursticas para Sistemas de Separao 7.4.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo Heurstico 7.1 SISTEMAS DE SEPARAO So sistemas formados por separadores So equipamentos que promovem a separao total ou parcial dos componentes de uma mistura. Princpio Fsico Os separadores so concebidos de modo a explorar a diferena das propriedades fsicas das substncias (volatilidade, solubilidade, densidade, tamanho, etc.). Exemplos Torres de destilao e de absoro, extratores, cristalizadores,

evaporadores, sedimentadores, peneiras, membranas, filtros. A Funo dos Separadores promover AJUSTES DE COMPOSIO A B C D A B Equipamento 1 SEPARADOR C D Equipamento 2 adequando a composio das correntes a exigncias na entrada de equipamentos ou na sada do processo. Os separadores de um sistema podem ser todos de um mesmo tipo ou de tipos diferentes. Os Sistemas de Separao so necessrios quando um nico separador insuficiente. PROCESSO sistema de separao B B S2 Destino de B Produto Principal BC S1 ABC R

A S A reciclo C Destino de C Sub-Produto AI A,I Fonte de A Matria Prima I Destino de I Impureza Para remover a impureza I presente na alimentao, basta o separador S. Mas a separao dos componentes do efluente do reator exige dois separadores, S1 e S2, que formam um Sistema de Separao. 7. SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 7.1 Sistemas de Separao 7.2 O Problema de Sntese 7.2.1 Enunciado 7.2.2 Problema Ilustrativo 7.2.3 Soluo 7.2.4 A Natureza Combinatria do Problema de Sntese 7.2.5 Representao Misturas por Listas 7.3 Representao do Problema de Sntese 7.3.1 Representao por rvores de Estado 7.3.2 Representao por Superestrutura 7.4 Resoluo pelo Mtodo Heurstico 7.4.1 Regras Heursticas para Sistemas de Separao 7.4.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo Heurstico 7.2 O PROBLEMA DE SNTESE 7.2.1 Enunciado Este Captulo voltado ao seguinte problema decorrente do detalhamento de um

Bloco de Separao do Fluxograma Embrio Dada uma corrente de processo, determinar o sistema de separao que produza um conjunto de correntes de composies definidas, com o custo mnimo. 7. SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 7.1 Sistemas de Separao 7.2 O Problema de Sntese 7.2.1 Enunciado 7.2.2 Problema Ilustrativo 7.2.3 Soluo 7.2.4 A Natureza Combinatria do Problema de Sntese 7.2.5 Representao Misturas por Listas 7.3 Representao do Problema de Sntese 7.3.1 Representao por rvores de Estado 7.3.2 Representao por Superestrutura 7.4 Resoluo pelo Mtodo Heurstico 7.4.1 Regras Heursticas para Sistemas de Separao 7.4.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo Heurstico 7.2.2 Problema Ilustrativo (Henley & Seader) (Problema 7.1 do Livro) A A E B C D SISTEMA DE SEPARAO C B ? D E Deseja-se separar os componentes da mistura, de acordo com

a figura. A A E B SISTEMA DE SEPARAO C D C B D ? Componentes? E Smbolo A B C D E Componente Propano Processo de Separao Buteno -1 Destilao Simples n-Butano Butenos -2 Pentano Butenos-2: mistura de trans e cis butenos-2 A soluo do problema a sequncia de separadores de menor Custo. Fatores que afetam - as dimenses - o consumo de energia

consequentemente o custo das torres de destilao (a) a vazo de alimentao de cada componente (b) a volatilidade relativa dos componentes ij No exemplo: Smbolo Componente Vazo (x) ij (adj.) A Propano 10 (0,01) 2,21 B Buteno -1 100 (0,15) 1,20 C n-Butano 341 (0,50) 1,15 D Butenos -2 187 (0,28) 2,70 E Pentano 40 (0,06)

Sobre a volatilidade relativa e o seu papel. Smbolo Componente Vazo (x) A Propano B C D Buteno -1 n-Butano Butenos -2 E Pentano 10 (0,01) 100 (0,15) 341 (0,50) 187 (0,28) ij (adj.) 2,21 (mais voltil) 1,20 1,15 2,70 (menos voltil) 40 (0,06) A volatilidade relativa a razo entre as constantes de equilbrio de dois componentes: ij = Ki / Kj. REVENDO O CONCEITO DE CONSTANTE DE EQUILBRIO VASO OU TANQUE DE VAPORIZAO

FLASH Uma mistura lquida sofre uma vaporizao parcial instantnea. Formam-se duas fases: uma vapor e outra lquida. 2 F vlvula z1 z2 V y1 y2 vapor 1 3 Admite-se que no tanque as duas fases se encontram em equilbrio termodinmico. L x1 x2 lquido Fase rica no mais leve (mais voltil) No equilbrio, as composies obedecem relao de equilbrio lquido-vapor. y1 K1 x1 = 0 y2 K2 x2 = 0 K1 , K2 : constantes de equilbrio Fase rica no mais pesado (menos voltil) A serem includas no modelo VASO OU TANQUE DE VAPORIZAO FLASH Modelo usualmente em unidades molares

2 1 F vlvula z1 z2 3 V y1 y2 vapor L x1 x2 lquido Modelo 1. F - V - L = 0 2. F z1 - V y1 - L x1 = 0 3. F z2 - V y2 - L x2 = 0 4. y1 - K1 x1 = 0 5. y2 - K2 x2 = 0 6. z1 + z2 - 1 = 0 7. y1 + y2 - 1 = 0 8. x1 + x2 - 1 = 0 K1, K2: equilbrio lquido-vapor Smbolo Componente Vazo (x) A Propano B C D Buteno -1 n-Butano Butenos -2 ij (adj.) 10 (0,01) 100 (0,15) 341 (0,50)

187 (0,28) 2,21 (mais voltil) 1,20 1,15 2,70 (menos voltil) E 40 (0,06) Na tabela, ij Pentano volatilidade entre um componente e o menos voltil seguinte na tabela. a volatilidade relativa adjacente. Tratando-se de volatilidades relativas adjacentes Ki > Kj e ij > 1 fato conhecido que quanto mais similares as estruturas mais similares so as propriedades mais difcil a separao de duas substncias. Exemplo: separao de ismeros. Portanto, quanto mais similares as estruturas mais similares so as suas constantes de equilbrio e mais prximo de 1 o valor de ij = Ki / Kj Ento, a volatilidade relativa adjacente ij pode servir de medida da dificuldade de separao dos componente i e j da mistura. Smbolo Componente Vazo (x) ij (adj.) A Propano 10 (0,01)

2,21 B Buteno -1 100 (0,15) 1,20 C n-Butano 341 (0,50) 1,15 D Butenos -2 187 (0,28) 2,70 Os valores de ij indicam ser mais difcil separar n-Butano dos E Pentano 40 (0,06) Butenos-2 do que separar os Butenos-2 do Pentano. 7. SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 7.1 Sistemas de Separao 7.2 O Problema de Sntese 7.2.1 Enunciado 7.2.2 Problema Ilustrativo 7.2.3 Soluo 7.2.4 A Natureza Combinatria do Problema de Sntese 7.2.5 Representao Misturas por Listas 7.3 Representao do Problema de Sntese 7.3.1 Representao por rvores de Estado 7.3.2 Representao por Superestrutura 7.4 Resoluo pelo Mtodo Heurstico 7.4.1 Regras Heursticas para Sistemas de Separao 7.4.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo Heurstico Como em todo problema de Sntese 7.2.3 Soluo

A SOLUO UM FLUXOGRAMA A A B Esta apenas uma soluo B C D C A B E D B C D C D E D Componente Smbolo Propano A Buteno -1 B n-Butano C Butenos -2 D n-Pentano E E Nesta disciplina, as separaes so consideradas completas e sem retiradas laterais. Caractersticas Bsicas de uma Soluo A So os detalhes que distinguem uma soluo de outra

A B B C D C A B E D B C D C D E D Componente Smbolo Propano A Buteno -1 B n-Butano C Butenos - 2 D n-Pentano E E (a) seqncia das separaes (b) tipo de operao em cada etapa Exemplo de A D C A E B

duas solues diferentes 5 D C A B E 4 A AB D C D 2 19 D C ED 13 DC DB C 19 D B DC A B E DC A E B E

17 C B 16 E B 7. SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 7.1 Sistemas de Separao 7.2 O Problema de Sntese 7.2.1 Enunciado 7.2.2 Problema Ilustrativo 7.2.3 Soluo 7.2.4 A Natureza Combinatria do Problema de Sntese 7.2.5 Representao Misturas por Listas 7.3 Representao do Problema de Sntese 7.3.1 Representao por rvores de Estado 7.3.2 Representao por Superestrutura 7.4 Resoluo pelo Mtodo Heurstico 7.4.1 Regras Heursticas para Sistemas de Separao 7.4.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo Heurstico Qual deve ser a primeira pergunta ao se deparar com qualquer problema? Quantas solues viveis o problema apresenta? No caso da Sntese de Sistemas de Separao o nmero de solues aumenta com o nmero de componentes e com o nmero de processos plausveis Solues para 2 componentes e 2 processos plausveis A A A B A

B DS DE 2 solues B B Coluna de destilao simples Coluna de destilao extrativa Exemplo: 3 componentes : 2 processos plausveis 2 A 5 A B C B 8 solues ! A 1 B C B C A B 1 B 1 C

2 C 1 A 3 A A B A B C C 6 A 1 B A B B 1 C B C B B 2 B C 1 7

A A A B B A 1 B 2 C C C B A B A 2 B 2 C B 2 B C C A A B C C

Diferenas Tipo de Separador 8 A 2 4 Sequncia dos Cortes A 1 C Enumeradas ao acaso 2 C O nmero de solues aumenta rapidamente com o nmero de componentes e de processos plausveis [2(C 1)]! C 1 N P (C 1)! C! Papoulias, Grossman C: No. de componentes P: No. de processos plausveis N: No. De fluxogramas possveis Nmero de Fluxogramas Possveis C Problema Ilustrativo P=1 P=2 P=3 2

3 4 5 6 7 8 1 2 5 14 42 132 429 2 8 40 224 1.344 8.448 54.912 3 18 135 1.134 10.206 96.228 938.223 9 10 1.430 4.862 366.080 2.487.344 7.382.230 95.698.746 A este efeito d-se o nome de... EXPLOSO COMBINATRIA !!! Espao das Solues Considerando apenas Sistemas de Separao !!!

Desafio: achar a soluo tima (ou, pelo menos, prxima da tima) Espao das 14 Solues do Problema Ilustrativo 4 5 7 12 6 10 11 3 8 13 14 1 2 9 Nmero de colunas passveis de utilizao para a separao completa dos componentes S = C (C-1)(C+1) / 6 Problema Ilustrativo C S 2 1 3 4 4 10 5 20 6 35 7

56 8 84 9 120 10 165 11 220 Sero apresentadas adiante 7. SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 7.1 Sistemas de Separao 7.2 O Problema de Sntese 7.2.1 Enunciado 7.2.2 Problema Ilustrativo 7.2.3 Soluo 7.2.4 A Natureza Combinatria do Problema de Sntese 7.2.5 Representao Misturas por Listas 7.3 Representao do Problema de Sntese 7.3.1 Representao por rvores de Estado 7.3.2 Representao por Superestrutura 7.4 Resoluo pelo Mtodo Heurstico 7.4.1 Regras Heursticas para Sistemas de Separao 7.4.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo Heurstico 7.2.5 Representao de Misturas por Listas Trata-se de uma representao computacional em que os componentes de uma mistura so ordenados segundo a propriedade fsica explorada pelo separador. EXEMPLO A E B D C A B C D E volatilidade Mistura Lista

A: mais voltil : mais leve : menor TE E: menos voltil : mais pesado : maior TE A E B D C Mistura densidade C B A E D Lista De maneira anloga, as torres de destilao podem ser representadas computacionalmente por processadores de listas. A torre separa os componentes em produtos de topo e de fundo Torre de Destilao O processador divide a lista em duas sub-listas Processador de Listas A B C Produto de topo A B E C D volatilidade alimentao D E Produto de fundo A B

C D E Lista alimentao A B C D E Sub - listas produtos Os componentes localizados nas pontas da Lista podem ser separados com uma nica operao. A A B C D A B C D B C D A B C D Os demais componentes precisaro de duas separaes. Ex.: B. A B C D A B C D

B C D ou A B C D A B C D A B Portanto, um critrio para selecionar um processo de separao a presena do componente de interesse numa das pontas da lista A presena de uma outra substncia pode alterar a ordem dos componentes na Lista Destilao Simples AB ECD F A B C D E F Problema 7.2 Destilao Extrativa (c/ furfural) AB E CD F f A C B D

E F A presena de uma outra substncia tambm pode alterar a dificuldade da separao (volatilidade relativa). Destilao Simples AB ECD F Destilao Extrativa (c/ furfural) A ECD B ausente Ff A BC A B C (C/D) = 1,07 D E D F F E A B C D E F A C A C (C/D) = 1,70 D E D F F E A C

D E F A sntese de um Sistema de Separao compreende duas aes: (a) a gerao dos fluxogramas plausveis. (b) o dimensionamento dos separadores e a avaliao do custo de cada fluxograma gerado. (a) gerao dos fluxogramas plausveis. executada pelos mtodos que sero apresentados no decorrer do Captulo (b) Dimensionamento e Avaliao do Custo dos Separadores um procedimento de natureza numrica que exige o conhecimento especfico dos separadores e dos seus mtodos de clculo (Operaes Unitrias, Anlise de Processos) Nesta disciplina, os separadores so considerados j dimensionados e avaliados. Os seus custos so fornecidos nos enunciados. As 20 torres passveis de utilizao no Problema Ilustrativo: lista e custos Coluna Alimentao $/ano Coluna Alimentao $/ano 1 A/BCDE 90 11 A/BC 59

2 AB/CDE 261 12 AB/C 197 3 ABC/DE 540 13 B/CD 247 4 ABCD/E 95 14 BC/D 500 5 A/BCD 85 15 C/DE 460 6

AB/CD 254 16 CD/E 64 7 ABC/D 510 17 A/B 15 8 B/CDE 254 18 B/C 190 9 BC/DE 530 19 C/D 420 10

BCD/E 94 20 D/E 32 7. SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 7.1 Sistemas de Separao 7.2 O Problema de Sntese 7.2.1 Enunciado 7.2.2 Problema Ilustrativo 7.2.3 Soluo 7.2.4 A Natureza Combinatria do Problema de Sntese 7.2.5 Representao de Misturas por Listas 7.3 Representao do Problema de Sntese 7.3.1 Representao por rvores de Estado 7.3.2 Representao por Superestrutura 7.4 Resoluo pelo Mtodo Heurstico 7.4.1 Regras Heursticas para Sistemas de Separao 7.4.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo Heurstico 7.3 REPRESENTAO DO PROBLEMA DE SNTESE Uma das limitaes encontradas antes do advento da Engenharia de Processos: enumerar todas solues possveis, para no arriscar deixar de fora a soluo tima. Nesse sentido, veio uma das maiores contribuies da Inteligncia Artificial Representao de Problemas Consiste em reunir todas as solues possveis em uma representao que torne todas visveis aos procedimentos de anlise. Duas representaes importantes: (a) rvore de Estado (b) Superestrutura Mais adiante sero apresentados mtodos de sntese baseados nessas representaes 7. SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 7.1 Sistemas de Separao 7.2 O Problema de Sntese

7.2.1 Enunciado 7.2.2 Problema Ilustrativo 7.2.3 Soluo 7.2.4 A Natureza Combinatria do Problema de Sntese 7.2.5 Representao Misturas por Listas 7.3 Representao do Problema de Sntese 7.3.1 Representao por rvore de Estado 7.3.2 Representao por Superestrutura 7.4 Resoluo pelo Mtodo Heurstico 7.4.1 Regras Heursticas para Sistemas de Separao 7.4.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo Heurstico O qu um Estado ? uma configurao que surge na sequncia da montagem de um sistema. Exemplo na sntese de um Sistema de Separao A D C A B B E DB 5 D C A B E 4 Estado 1 Intermedirio 13 C DC A E

B E DC 19 Estado 2 Intermedirio Estado 3 Intermedirio D Estado 4: FINAL rvore de Estados uma figura com o aspecto de uma rvore invertida em que so colocados todos os estados produzidos durante a formao de um sistema. Ao longo dos ramos esto os estados intermedirios percorridos durante a resoluo do problema. raiz De cada estado sai uma bifurcao para os estados que dele se originam: h uma deciso associada. Nas extremidades dos ramos encontram-se os estados finais, configuraes completas, que so as solues alternativas do problema. EXEMPLO Os 8 fluxogramas do exemplo com 3 componentes e 2 processos 2 A 5 A

Exemplo: 3 componentes 2 processos plausveis B C B 8 solues ! A 1 B C B C A B 1 B 1 C 2 C 1 A 3 A A B A B C

C 6 A 1 B A B B 1 C A A 2 B C B B 2 C 1 C A 7 A A A B B

A 1 B 2 C C C B A B A 2 B 2 C B 2 B C C 4 A B C B 1 C 8 2 C

As 8 solues organizadas numa rvore de Estados ABC AB C AB 1 C C A 2 B 1 A 1 B 3 A 4 A A 1 B 7 BC 2 A 2 B

A BC 1 C 1 A 2 B 2 C 2 B 1 C 5 B 2 C 6 B C 8 No primeiro nvel so colocadas todas as colunas que recebem a mistura original como alimentao (3 componentes). No segundo nvel, todas as colunas que recebem 2 componentes. Com o auxlio da rvore de Estados pode-se gerar todos os fluxogramas. Basta percorrer ordenadamente todos os seus ramos

ABC AB C AB C 1 C A 2 B 1 A 1 B 3 A A A 1 B 4 B A A B A B C

1 B 1 C 2 C 2 7 1 BC 2 A 2 B A BC 1 C 1 A 2 B 1 C 5 B 2 C

6 B C 8 ABC AB C AB C 1 C A 2 B 1 A 1 B 3 A A 1 A B 4 B A

A B A B C 2 B 1 C 2 C 2 7 3 BC 2 A 2 B A BC 1 C 1 A 2 B 1 C

5 B 2 C 6 B C 8 ABC AB C AB C 1 C A 2 B 1 A 1 B 3 A A 4 A

1 B B A A A B B 1 B 2 C C 2 C 2 7 4 BC 2 A 2 B A BC 1 C 1 A

2 B 1 C 5 B 2 C 6 B C 8 ABC AB C AB C 1 C A 2 B 1 A 1 B 3

A A A 1 B 4 B A A B A B C 2 B 2 C 2 C 2 7 7 BC 2 A 2 B A BC

1 C 1 A 2 B 1 C 5 B 2 C 6 B C 8 ABC AB C AB 1 C C A 2 B 1

A 1 B 3 A A 4 A 1 B B A A B C B 1 B C 1 C 2 C 2 7 2 BC 2 A 2

B A BC 1 C 1 A 2 B 1 C 5 B 2 C 6 B C 8 ABC AB C AB C 1 C

A 2 B 1 A 1 B 3 A 4 A 1 A B B A A B C B 1 B C 2 C 2 C 2 7 5 BC

2 A 2 B A BC 1 C 1 A 2 B 1 C 5 B 2 C 6 B C 8 ABC AB C AB 1

C C A 2 B 1 A 1 B 3 A A A 1 B 4 B A A B C B 2 B C 1 C 2 C 2

7 6 BC 2 A 2 B A BC 1 C 1 A 2 B 1 C 5 B 2 C 6 B C 8 ABC AB

C AB 1 C C A 2 B 1 A 1 B 3 A A A 1 B 4 B A A B C B 2 B C 2

C 2 C 2 7 8 BC 2 A 2 B A BC 1 C 1 A 2 B 1 C 5 B 2 C 6 B

C 8 2 As solues so enumeradas no mais ao acaso A 5 A B C B A 1 B C B C A B 1 B 1 C 2 C 1 A 3 A

A B A B C C 6 A 1 B A B B 1 C A 8 A 2 B C B B 2 C 1 C A 7

A A A B B A 1 B 2 C C C B A B A 2 B 2 C B 2 B C C 4 A B C B

1 C Agora com o auxlio da rvore 2 C rvore do Problema Ilustrativo A A E B C D SISTEMA DE SEPARAO C B D ? E Smbolo Componente Vazo (x) ij (adj.) A Propano 10 (0,01) 2,21 B

Buteno -1 100 (0,15) 1,20 C n-Butano 341 (0,50) 1,15 Butenos -2: trans e cis -2 D mistura de Butenos -2 butenos 187 (0,28) Processo 2,70 Destilao Simples Exploso Combinatria na Sntese de Sistemas de Separao N: No. de fluxogramas possveis [2(C 1)]! C 1 N P (C 1)! C! C: No. de componentes P: No. de processos plausveis Nmero de Fluxogramas Possveis C Problema Ilustrativo 2 3 4 5 6 7

8 9 10 P=1 1 2 5 14 42 132 429 1.430 4.862 P=2 2 8 40 224 1.344 8.448 54.912 366.080 2.487.344 P=3 3 18 135 1.134 10.206 96.228 938.223 7.382.230 95.698.746 Espao das 14 Solues do Problema Ilustrativo 4 5 7 12 6

10 11 3 8 13 14 1 2 9 O fluxograma 10 na rvore de Estados 00 A D C A B ABCD E 04 B E DB 5 D C A B E A BCD 4 13 C 05

DC A E B E DC 19 B CD 13 D C D 19 10 As 14 solues representadas por rvore de Estados 00 A BCDE AB CDE 01 CDE 08 ABC 02 DE 04 BCD E 09 3 10

C DE 15 CD E A BC 16 11 DE CD E B C 12 B CD BC D 16 00 13 D E C D D E C D B C

20 19 20 19 18 02 03 AB CD 05 ABC 06 D 07 8 15 01 01 A BCD AB C 13 C 11 10 6 BC DE ABCD E

03 5 B 12 7 4 04 14 14 05 D E C D 20 19 A B 17 06 B C A B B CD 18 17 13 D E

D E 17 20 20 07 08 09 A 1 B 2C D 19 10 BC D A B 14 17 B C C 9 18 19 11

12 A BC 11 D B 18 13 AB C 12 C A 17 14 B As 14 solues do Problema Ilustrativo representadas por rvore de Estados 00 A BCDE AB CDE 01 B CDE 08 C DE

02 BC DE B C BCD E 09 CD E 10 C B CD BC D 15 16 00 13 14 D E C D D E C D B C 20

19 20 19 18 01 01 02 03 ABC 04 05 DE DE ABCD E 03 CD E A BC 04 A BCD AB C AB CD 15 16 11 12

D E C D B C A B B CD 20 19 18 17 13 14 17 D E D E C D B C C 17 20 20 19 18 19 07 08

09 A B 17 06 A B 05 10 ABC 06 BC D 11 07 A B 12 D A BC 11 D B 18 13

AB C 12 C A 17 14 B Mais adiante, ser apresentado o Mtodo de Rodrigo&Seader baseado neste tipo de representao. 7. SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 7.1 Sistemas de Separao 7.2 O Problema de Sntese 7.2.1 Enunciado 7.2.2 Problema Ilustrativo 7.2.3 Soluo 7.2.4 Representao de Misturas por Listas 7.2.5 A Natureza Combinatria do Problema de Sntese 7.3 Representao do Problema de Sntese 7.3.1 Representao por rvores de Estado 7.3.2 Representao por Super - estrutura 7.4 Resoluo pelo Mtodo Heurstico 7.4.1 Regras Heursticas para Sistemas de Separao 7.4.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo Heurstico EXEMPLOS ANTERIORES DE SUPER - ESTRUTURAS A,B A,B A,B A Fluxogramas Viveis A

A,B A A (12) (7) T DE T DS RT RM P RM P,A R T A,P P (10) P,A (8) P,A P DS P RM DS

A A,B A A,B A A,B A RT (14) A,P R A (11) A DS (9) RT P A T A,P DE RM P A,B A

RT (13) R A,P DE P P,A R DE P Os Fluxogramas na Super Estrutura RM Reator de mistura RT A R Aquecedor Resfriador DE DS T Trocador de Integrao Coluna de destilao Coluna de destilao extrativa simples

Reator tubular T DS RM R A RT DE Fluxograma Embrio S1 R1 S2 R2 S3 R3 M1 M2 M3 2 Exemplo: A 5 A 3 componentes 2 processos plausveis

B C B A 1 B C B C A B Para este problema? B 1 C 2 C 1 A 3 A A B A B C C 6

A 1 B A B B 1 C Diferenas: A B C B B 2 C 1 C A 7 A A B B A 1 B 2 C

C C B A B A 2 B 2 C B 2 B C C 4 A B C B A Seqncia dos Cortes Tipo de Separador 8 A 2 1 C Super-estrutura

1 2 C 7.3.2 Representao por Super-Estrutura A B C AB BC ABC 1 1 2 1 1 2 2 2 A/BC B/C B/C AB/C A/B A/B A/BC AB/C A Super-estrutura contm: (a) todas as misturas de um, dois e trs componentes existentes no sistema (linhas horizontais); (b) todos as colunas passveis de utilizao. (c) todas as conexes: misturadores e divisores de correntes

7.3.2 Representao por Super-Estrutura A B C AB BC ABC 1 1 2 1 1 2 2 2 A/BC B/C B/C AB/C A/B A/B A/BC AB/C 1 A Super-estrutura abriga cada um dos 8 fluxogramas. A A Exemplo:

Fluxograma 1 1 B A B B 1 C C A B C AB BC ABC 1 1 2 1 1 2 A/BC B/C B/C AB/C A/B A/B 2 A/BC

2 AB/C Mais adiante, dever ser apresentado um procedimento baseado neste tipo de representao. Lembrando: Na Sntese de Processos o problema a gerao de fluxogramas Logo, as solues so fluxogramas A Resoluo se d pela aplicao de Mtodos de Sntese Sero apresentados agora os Mtodos de Sntese de Sistemas de Separao 7. SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 7.1 Sistemas de Separao 7.2 O Problema de Sntese 7.2.1 Enunciado 7.2.2 Problema Ilustrativo 7.2.3 Soluo 7.2.4 A Natureza Combinatria do Problema de Sntese 7.2.5 Representao de Misturas por Listas 7.3 Representao do Problema de Sntese 7.3.1 Representao por rvores de Estado 7.3.2 Representao por Superestrutura 7.4. Resoluo pelo Mtodo Heurstico 7.4.1 Regras Heursticas para Sistemas de Separao 7.4.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo Heurstico 7.4 RESOLUO PELO MTODO HEURSTICO Relembrando do Captulo 6 Trata-se de um dos mtodos intuitivos utilizados pelo homem ao se defrontar com um problema complexo. Identificado e formalizado pela Inteligncia Artificial. Consiste em gerar fluxogramas com base em "REGRAS HEURSTICAS" Heurstica termo de origem grega que significa auxlio inveno. Regras Heursticas: - so regras empricas resultantes da experincia acumulada na resoluo de problemas. - no resultam de dedues matemticas - so especficas para cada rea do conhecimento. Exemplos: - provrbios - escolha de roteiros, de aplicaes financeiras, ...

- receitas culinrias O Mtodo Heurstico um mtodo de decises sucessivas Algoritmo Geral Repetir Examinar os dados do problema Selecionar uma Regra Aplicar a Regra Obter uma soluo intermediria At Soluo Final EXEMPLO DE APLICAO DO MTODO HEURSTICO A UM PROCESSO COMPLETO Problema Ilustrativo para Sntese (Captulo 1) Produzir um produto P a partir dos reagentes A e B Reatores plausveis: RM Reator de Mistura (RM) ou Reator Tubular (RT). Os reagentes devem ser pr-aquecidos e o efluente do reator resfriado. RT Separadores plausveis: Destilao Simples (DS) ou Destilao Extrativa (DE). DE DS Esquemas plausveis de troca trmica: - Sem Integrao Energtica (SI): - aquecedor (A) com vapor; - resfriador (R) com gua; - Com Integrao Energtica (CI): - trocador de integrao (T). A R T Equipamentos disponveis para a montagem do fluxograma

do Processo Ilustrativo RM Reator de mistura RT Reator tubular DS A R Aquecedor Resfriador DE Coluna de destilao Coluna de destilao extrativa simples T Trocador de Integrao A Sntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausveis disponibilizando-os para a Anlise. A,B A,B A,B A A A,B

A A (12) (7) T DE T DS RT RM P RM P,A R T (8) P,A P Os 8 fluxogramas viveis A,B A A,B A A RT (14) A,P R

A DS A (11) (9) RT P A DS P (10) P,A A,B A,P P RM DS A T A,P DE RM P A,B A

RT (13) R A,P DE P P,A R DE P Repetindo do Captulo 6 Exemplo de Resoluo pelo Mtodo Heurstico A,B Repetir Reconhecer as circunstncias do problema Selecionar uma Regra Aplicar a Regra Regras para reatores Ampliar a soluo 0 At Chegar Soluo Final RT RM 3 CI 7 8 SI 9 SI CI

10 Evitada a Exploso Combinatria !!! 11 A,P DS 2 DE 5 4 SI T P DS Regras para Integrao DE A RT Regras para separadores 1 DS (12) 6 CI SI 12 13 Fluxograma completo Um dos ramos da rvore de

estados CI 14 O Mtodo Heurstico no conduz soluo tima. Mas almeja produzir uma soluo economicamente prxima da tima Soluo tima Mtodo Heurstico Vantagem: rapidez. Ignora as demais solues Este foi um exemplo de aplicao do Mtodo Heurstico para a gerao de um fluxograma completo com apenas duas solues plausveis para o sistema de separao Agora, vamos concentrar na gerao do fluxograma de um Sistema de Separao 7. SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 7.1 Sistemas de Separao 7.2 O Problema de Sntese 7.2.1 Enunciado 7.2.2 Problema Ilustrativo 7.2.3 Soluo 7.2.4 Representao de Misturas por Listas 7.2.5 A Natureza Combinatria do Problema de Sntese 7.3 Representao do Problema de Sntese 7.3.1 Representao por rvores de Estado 7.3.2 Representao por Superestrutura 7.4 Resoluo pelo Mtodo Heurstico 7.4.1 Regras Heursticas para Sistemas de Separao 7.4.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo Heurstico Exemplo de Resoluo pelo Mtodo Heurstico A,B Repetir Reconhecer as circunstncias do problema Selecionar uma Regra Aplicar a Regra Regras para reatores Ampliar a soluo 0 At Chegar Soluo Final

RT RM 3 CI 7 8 SI 9 SI CI 10 Evitada a Exploso Combinatria !!! 11 A,P DS 2 DE 5 4 SI T P DS Regras para Integrao DE A RT Regras para separadores

1 DS (12) 6 CI SI 12 13 Fluxograma completo Um dos ramos da rvore de estados CI 14 7.4.1 Regras Heursticas para Sistemas de Separao As Regras so expressas em termos das vazes dos componentes e da dificuldade de separao representada pelas ij Smbolo Componente Vazo (x) ij (adj.) A Propano 10 (0,01) 2,21 B Buteno -1 100 (0,15) 1,20 C

n-Butano 341 (0,50) 1,15 As Regras escritas sob forma da Lgica2,70 Matemtica D esto Butenos -2 a187 (0,28) E SePentano [Condio] 40 ento [Ao] (0,06) Leia-se: se a [Condio] for verdadeira, ento executar a [Ao] SE Condio ENTO Ao Regra 1: Se [(vazes diferem muito) e (volatilidades diferem pouco)], ento remover o componente com a maior frao. Regra 2: Se [(vazes diferem pouco) e (volatilidades diferem muito)] ento efetuar o corte mais fcil (maior volatilidade). Regra 3: Se [(vazes diferem pouco) e (volatilidades diferem pouco)] ento remover o componente mais leve. Cada Condio composta por duas Assertivas Para que uma Condio seja verdadeira e a Regra aplicada inequivocamente as duas Assertivas tm que ser verdadeiras SE Condio ENTO Ao Regra 1: Se [(vazes diferem muito) e (volatilidades diferem pouco)], ento remover o componente com a maior frao. Regra 2: Se [(vazes diferem pouco) e (volatilidades diferem muito)] ento efetuar o corte mais fcil (maior volatilidade). Regra 3: Se [(vazes diferem pouco) e (volatilidades diferem pouco)] ento remover o componente mais leve. Dificuldades para aplicar as Regras... Primeira dificuldade As duas assertivas de uma Condio podem ser verdadeiras As duas podem ser falsas Uma pode ser verdadeira e a outra falsa Como avaliar a veracidade da [Condio] formada por 2 assertivas?

SE Condio ENTO Ao Regra 1: Se [(vazes diferem muito) e (volatilidades diferem pouco)], ento remover o componente com a maior frao. Regra 2: Se [(vazes diferem pouco) e (volatilidades diferem muito)] ento efetuar o corte mais fcil (maior volatilidade). Regra 3: Se [(vazes diferem pouco) e (volatilidades diferem pouco)] ento remover o componente mais leve. Segunda dificuldade As assertivas utilizam os termos muito e pouco. So conceitos vagos, subjetivos, sujeitos a avaliaes diferentes por pessoas diferentes. Torna-se difcil avaliar a Veracidade das assertivas No Exemplo Ilustrativo Smbolo Componente Vazo (x) ij A Propano 10 (0,01) 2,21 B Buteno-1 100 (0,15) 1,20 C n-Butano 341 (0,50) 1,15 D

E Butenos-2 As vazes diferem muito187 ou (0,28) pouco? Pentano 40 (0,06) As volatilidades diferem muito ou pouco? Um pouco difcil de dizer, no ? 2,70 preciso, ento, quantificar muito e pouco e converter as suas expresses literais em expresses numricas. Apela-se, ento, para a Lgica Nebulosa ("Fuzzy Logic") LGICA NEBULOSA ("FUZZY LOGIC") um campo da Matemtica que trabalha com Conjuntos Nebulosos Fuzzy Sets So conjuntos em que a pertinncia de cada elemento depende de ponto de vista, de preferncia ou gosto. Exemplos de Conjuntos Nebulosos: - as disciplinas mais difceis do Curso - os melhores jogadores de um campeonato - as cervejas mais saborosas UM EXEMPLO DE APLICAO Dissertao de Mestrado Avaliao da Localizao de Usinas de Biodiesel como o Uso da Lgica Fuzzy Monique da Silva dos Santos Orientadores: Donato Aranda, Carlos Alberto Cosenza SE Condio ENTO Ao Regra 1: Se [(vazes diferem muito) e (volatilidades diferem pouco)], ento remover o componente com a maior frao. Regra 2: Se [(vazes diferem pouco) e (volatilidades diferem muito)] ento efetuar o corte mais fcil (maior volatilidade). Regra 3: Se [(vazes diferem pouco) e (volatilidades diferem pouco)] ento remover o componente mais leve.

No contexto da Lgica Difusa as assertivas das Regras Heursticas, por usarem os termos muito e pouco, formam um CONJUNTO NEBULOSO Para quantificar muito e pouco, so usados ndices de Disperso min R = max qmin Q = qmax min, max: menor e maior valores de dentre os componentes da mistura no momento da deciso. qmin, qmax: menor e maior valores de x dentre os componentes da mistura no momento da deciso. 0

1,5 R = 0,9375 1,5 diferem pouco R = min max min diferem muito Q = q q min max No Exemplo Ilustrativo Smbolo Componente Vazo (x) ij A Propano 10 (0,01) 2,21 B Buteno-1

100 (0,15) 1,20 C n-Butano 341 (0,50) 1,15 Butenos-2 187 (0,28) (0,06) R = Pentano / = 1,15/2,7040 = 0,43 2,70 D E min max Q = qmin / qmax = 10/341 = 0,03 De acordo com esses ndices, considera-se que as vazes diferem muito mais do que as volatilidades Agora, pode-se substituir as expresses literais das assertivas, sujeitas a impresses subjetivas, por expresses numricas. Essas expresses numricas devem ser escolhidas de modo que os seus valores sejam prximos de 1 quando as assertivas estiverem prximas de verdadeiras. R e Q prximos de 1 significa que os valores mnimo e mximo so muito prximos. Os valores intermedirios esto necessariamente agrupados. Isto significa valores pouco dispersos. R e Q prximos de 0 significa que

o valor mnimo muito menor do que o mximo. Isto significa valores muito dispersos. 10,0 max R = 0,15 max 1,6 min 1,5 R = 0,9375 1,5 diferem pouco R = min max min diferem muito Q = q q min max Expresso numrica das Assertivas e da Condio Regra 1: SE (as vazes diferem muito E as volatilidades diferem pouco), ENTO remover o componente com a maior frao. Expressando as assertivas em termos de Q e R: vazes diferem muito: Q 0 : 1 Q 1

Volatilidades diferem pouco: R 1 Para a Regra 1: Se [ (1 Q) maior frao. e R ] ento remover o componente com a Expresso numrica das Assertivas e da Condio Regra 2: SE (as vazes diferem pouco E as volatilidades diferem muito ENTO efetuar o corte mais fcil (maior volatilidade). Expressando as assertivas em termos de Q e R: vazes diferem pouco: Q 1 Volatilidades diferem muito: R 0 : 1 R 1 Para a Regra 1: Se [ Q e 1 R ] ento remover o componente com a maior frao. Expresso numrica das Assertivas e da Condio Regra 3: SE (as vazes diferem pouco E as volatilidades diferem pouco) ENTO remover o componente mais leve. Expressando as assertivas em termos de Q e R: vazes diferem pouco: Q 1 Volatilidades diferem pouco: R 1 Para a Regra 1: Se [ Q e R ] ento remover o componente com a maior frao. Confiana em cada Regra A Confiana numa Regra limitada pela sua assertiva mais fraca. Para a Regra 1: Se [(1 - Q) e R] ento remover o componente com a maior frao. V1 = Min (1 - Q, R) Para a Regra 2: Se [Q e (1 - R)] ento efetuar o corte mais fcil V2 = Min (Q, 1 - R) Para a Regra 3: Se [Q e R] ento remover o componente mais leve . V3 = Min (Q, R) A Regra mais confivel a que apresenta o maior valor de Vj Max [V1, V2, V3]. Mapa da Aplicao das Regras Heursticas pelos ndices de Disperso diferem pouco R

m /M diferem muito 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,3 1,3

1,3 1,3 1,3 1,2,3 3 3 3 3 3 2,3 3 3 3 3 3 2,3 3 3 3 3 3 2,3 3 3 3 3 3 2,3 3 3 3 3 3 2,3 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 1 1 1

1 1,2,3 0,0 1 1 1 1,2,3 2 0,1 1 1 1,2,3 2 2 0,2 1 1,2,3 2 2 2 0,3 1,2,3 2 2 2 2 0,4 2 2 2 2 2 0,5 2 2 2 2 2 0,6 2 2 2

2 2 0,7 2 2 2 2 2 0,8 2 2 2 2 2 0,9 2 2 2 2 2 1,0 diferem muito Q (x m / x M) diferem pouco Max [V1, V2, V3] Regra 1: Se (1 - Q) e R ento remover o componente com a maior frao. V1 = Min (1 - Q, R) Regra 2: Se Q e (1 - R) ento efetuar o corte mais fcil V2 = Min (Q, 1 - R) Regra 3: Se Q e R ento remover o mais leve V3 = Min (Q, R) 7. SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 7.1 Sistemas de Separao 7.2 O Problema de Sntese 7.2.1 Enunciado 7.2.2 Problema Ilustrativo 7.2.3 Soluo 7.2.4 Representao de Misturas por Listas 7.2.5 A Natureza Combinatria do Problema de Sntese 7.3 Representao do Problema de Sntese 7.3.1 Representao por rvores de Estado

7.3.2 Representao por Superestrutura 7.4 Resoluo pelo Mtodo Heurstico 7.4.1 Regras Heursticas para Sistemas de Separao 7.4.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo Heurstico Usando os ndices de Disperso Smbolo Componente Vazo (x) ij A Propano 10 (0,01) 2,21 B C D E Buteno-1 n-Butano Butenos-2 Pentano 100 (0,15) 341 (0,50) 187 (0,28) 40 (0,06) 1,20 1,15 2,70 R = 1,15/2,70 = 0,43 (1-R = 0,57) Q = 10/34 = 0,03 (1-Q = 0,97) V1 = Min (1-Q,R) = 0,43 V2 = Min (Q,1-R) = 0,03 V3 = Min (Q,R) = 0,03

TE(oC) -42,1 -6,3 -0,5 [0,9 3,7] 36,1 Observando os nmeros: Regra 1: Se 0,97 e 0,43 ento R1 Regra 2: Se 0,03 e 0,57 ento R2 Regra 3: Se 0,03 e 0,43 ento R3 Regra 1 (remover o componente com a maior frao.) Remover C (est no meio da Lista...) Ento: corte mais fcil AB / CDE Primeira Coluna A B C D E A B C D E Segunda Coluna Smbolo Componente Vazo (x) (adj.) TE(oC) A Propano 10 (0,01)

2,21 -42,1 B C D E Buteno-1 n-Butano Butenos-2 Pentano 100 (0,15) 341 (0,50) 187 (0,28) 40 (0,06) 1,20 1,15 2,70 -6,3 -0,5 [0,9 3,7] 36,1 Segunda Coluna Smbolo C D E Componente n-Butano Butenos-2 Pentano Vazo (x) (adj.) TE(oC) 341 (0,50) 187 (0,28) 40 (0,06)

1,15 2,70 -0,5 [0,9 3,7] 36,1 R = 1,15/2,70 = 0,43 (1-R = 0,57) Q = 40/341 = 0,12 (1-Q = 0,88) V1 = Min (1-Q,R) = 0,43 V2 = Min (Q,1-R) = 0,12 V3 = Min (Q,R) = 0,12 Observando os nmeros: Regra 1: Se 0,88 e 0,43 ento R1 Regra 2: Se 0,12 e 0,57 ento R2 Regra 3: Se 0,12 e 0,43 ento R3 Regra 1 (remover o componente com a maior frao.) Remover C Segunda coluna e as demais A B C D E A B C D E C D E Fluxograma 6 Cujo custo pela tabela das listas Coluna Alimentao $/ano Coluna

Alimentao $/ano 1 A/BCDE 90 11 A/BC 59 2 AB/CDE 261 12 AB/C 197 3 ABC/DE 540 13 B/CD 247 4 ABCD/E 95 14

BC/D 500 5 A/BCD 85 15 C/DE 460 6 AB/CD 254 16 CD/E 64 7 ABC/D 510 17 A/B 15 8 B/CDE 254 18 B/C

190 9 BC/DE 530 19 C/D 420 10 BCD/E 94 20 D/E 32 768 $/a A O Fluxograma correspondente A B 17 B A B C D E A B C D

E C D C A B E B 2 C D E D 15 C D E D 20 E E Soluo Heurstica ( 768 $/a ) D A A B A A B 17 B D C A B E B

17 B D D C D C A B E 2 C D 2 19 C D D 15 16 C D E D C D E 20 E E E Soluo Heurstica Apoiada ( 768 $/a )

Soluo tima ( 760 $/a ) As Solues Heursticas na rvore de Estados 00 AB CDE A BCDE 01 B CDE 08 C DE 02 BC DE B C BCD E 09 CD E 10 C B CD BC D 15

16 18 13 14 D E C D D E C D B C 20 19 20 19 18 01 01 02 03 ABC 04 05 DE DE ABCD E 03

CD E A BC 04 AB C A BCD 15 16 11 12 D E C D B C A B B CD 20 19 18 17 13 D E D E 17 20 20

07 08 09 A B 17 06 apoiada A B ABC A B CD 05 06 A 14 17 11 C D B C C 19 18 19 intuitiva

D 07 A B 10 BC 11 12 D D B 18 13 BC AB C 12 C A B 17 14 As 2 Solues Heursticas no Espao das Solues 7 12 2 4 10

Intuitiva Apoiada 6 1 3 5 8 9 11 13 14 Outras Regras Heursticas para Sistemas de Separao Regra 3: Ao usar destilao, remover um componente de cada vez como destilado. Regra 4: Evitar extrapolaes de temperatura e de presso, dando preferncia a condies elevadas, se tais extrapolaes forem necessrias. Regra 5: Evitar separaes que exigem espcies estranhas mistura, removendo-as logo que possvel no caso de se ter que us-las. Regra 6: Remover logo os componentes corrosivos ou mais perigosos Regra 7: Ao usar destilao, ou processo semelhante, remover como destilado a espcie de maior valor ou produto desejado. Essas Regras so teis apenas quando se configuram as situaes por elas previstas. s vezes so conflitantes. Em situaes no previstas pelas Regras, prevalece o bom-senso PROBLEMA PROPOSTO Resolver o Problema Ilustrativo pelo Mtodo Heurstico intuitivamente, sem usar os Indices de Disperso e a Confiana nas Regras.

7.5 Resoluo pelo Mtodo Evolutivo 7.5.1 Regras Evolutivas 7.5.2 Estratgia Evolutiva 7.6 Resoluo por Mtodo de Busca Orientada por rvore de Estados 7.6.1 Descrio do Mtodo de Rodrigo & Seader 7.6.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo de Rodrigo & Seader 7.5 RESOLUO PELO MTODO EVOLUTIVO O Mtodo Evolutivo consiste em evoluir de uma soluo inicial at uma soluo final, possivelmente a tima. A evoluo consiste na aplicao sucessiva de duas etapas: (a) explorao: consiste na explorao da vizinhana da soluo vigente, constituda de fluxogramas estruturalmente vizinhos . (b) progresso: consiste na adoo do melhor fluxograma vizinho como soluo vigente. O Mtodo se encerra quando a explorao no identifica uma soluo melhor do que a vigente, que adotada como soluo final. A eficincia do mtodo depende da qualidade do ponto de partida heurstico Como opera o Mtodo Evolutivo Gerar um fluxograma Base Repetir Identificar e otimizar os fluxogramas vizinhos Identificar o fluxograma vizinho de menor custo Se Custo do fluxograma vizinho < Custo do fluxograma Base Ento tomar como fluxograma Base o fluxograma vizinho de menor custo Seno adotar o fluxograma Base como soluo 80 90 75 90 100 60 50 60

40 70 80 80 95 100 90 70 10 50 300 200 40 60 20 30 100 Mtodo Heurstico O mtodo percorre seletivamente o espao das solues. Evita a Exploso Combinatria !!! O Mtodo Evolutivo de sntese se assemelha ao Mtodo de Hooke&Jeeves de otimizao, que no passa tambm de um mtodo evolutivo. Enquanto o Mtodo de Hooke&Jeeves processa nmeros o Mtodo Evolutivo processa figuras. 7.5 Resoluo pelo Mtodo Evolutivo 7.5.1 Regras Evolutivas 7.5.2 Estratgia Evolutiva 7.6 Resoluo por Mtodo de Busca Orientada por rvore de Estados 7.6.1 Descrio do Mtodo de Rodrigo & Seader 7.6.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo de

Rodrigo & Seader 7.5.1 Regras Evolutivas o as regras que definem os fluxogramas vizinhos. Em Sistemas de Separao: Regra (a): inverter o corte de dois separadores fisicamente interligados (mantendo o processo de separao de cada separador). Regra (b): trocar o processo de separao de uma das etapas, (mantendo o corte efetuado pelo separador). Exemplificando ... 4 componentes e 2 processos de separao Vizinhana Estrutural A B C D 1 B C D 2 De antemo, so previstos: C D BASE Processos 1 - 2 vizinhos pela Regra (a) - 3 vizinhos pela regra (b) Vizinhana Estrutural Regra (a) A B C D vizinho A B

C D 1 B C D 2 BASE vizinho C D 1 A B 2 C D 1 1 A B C D 1 B C D 2 No vizinho!!! Anula questo A B C D

B C 1 B C D 2 1 A B 1 A B C D Regra (b) A B C D 1 B C D 2 C D 1 A B C D 2 1 B C D 2

B C D 1 C D 1 C D 1 BASE A B C D 1 B C D 2 C D 2 2 A 5 A Exemplo: 3 componentes 2 processos plausveis B C B 8 solues ! A

1 B C B C A B 1 B 1 C 2 C 1 A 3 A A B A B C C 6 A 1 B A B

B 1 C A A 2 B C B B 2 C 1 C A 7 A A A B B A 1 B 2 C C C B

A B A 2 B 2 C B 2 B C C 4 A B C B 1 C 8 2 C Vizinhana Estrutural dos Fluxogramas no Espao das Solues 2 A 5 A B C B

A 1 B C B C A B 1 B 1 C 2 C 1 A 3 A A B A B C C 6 A 1 B A B

B 1 C A A 2 B C B B 2 C 1 C A 7 A B B A B C C B 2 C A 1 B 2

C B 2 A A B A C C 4 A B C B 1 C 8 2 B 2 C Cada fluxograma possui 3 vizinhos e alcanvel a partir de qualquer outro em at 3 passos. RESOLUO DO PROBLEMA ILUSTRATIVO PELO MTODO EVOLUTIVO Partindo da Soluo Heurstica Apoiada As Solues Heursticas na rvore de Estados 00 AB CDE

A BCDE 01 B CDE 08 C DE 02 BC DE B C BCD E 09 CD E 10 C B CD BC D 15 16 18 13 14

D E C D D E C D B C 20 19 20 19 18 01 01 02 03 ABC 04 05 DE ABCD E 03 DE CD E A BC 04 AB C

A BCD 15 16 11 12 D E C D B C A B B CD 20 19 18 17 13 D E D E 17 20 20 07 08 09 A B

A 17 06 apoiada B ABC A B CD 05 06 BC 07 A B A 14 17 11 C D B C C 19 18 19 10 intuitiva

D 11 12 D D B 18 13 BC AB C 12 C A B 17 14 Vizinhana Estrutural das 14 Solues do Problema Ilustrativo 7 12 2 6 1 3 4 10

5 11 8 9 13 14 Partindo da Soluo Heurstica Apoiada A B C D E A B C D E C D E Base 6 (768 $/a) A B C D E A B C D E A Regra (b) no se aplica. A B

A B C D E C D E C D SUCESSO! Nova Base 7 (760 $/a) Mas, todos os vizinhos devem ser gerados !!! A B C D E B A B C A B D E C D E C D E 1 (836 $/a)

9 (784 $/a) No Grfico Nova Base 760 7 12 2 6 1 3 4 10 5 11 836 Base 8 768 784 9 13 14 A B C D E A

B C D E C D 7 (760 $/a) Geram-se todos os vizinhos da Nova Base A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E C D C D E E C D 7 (760 $/a)

A B C D E A B C D 2 (828 $/a) A B C D Soluo No houve sucesso 12 (784 $/a) No Grfico Soluo 760 7 12 784 Base 2 4 10 5 11 828

6 1 3 836 8 768 784 9 13 14 Qualquer interrupo extempornea da gerao de todos os vizinhos configura o desconhecimento do Mtodo. RESOLUO DO PROBLEMA ILUSTRATIVO PELO MTODO EVOLUTIVO Partindo da Soluo Heurstica Intuitiva Partindo da Soluo Heurstica Intutiva 7 12 784 2 851 Base 4 10 847 870 6 1 3

5 8 9 11 13 14 Base 760 7 12 784 851 2 4 10 847 870 6 1 3 5 11 13 14 817 8 9 Base

760 7 Soluo 12 784 851 2 4 10 847 828 870 6 1 3 5 11 13 14 817 768 8 9 Circunstncias em que o Mtodo Evolutivo encontra a Soluo tima Espao de solues fortemente conexo Qualquer fluxograma pode ser alcanado a partir de qualquer outro. Como o caso do Problema Ilustrativo

Base 760 7 Soluo 12 784 851 2 4 10 847 828 870 6 1 3 5 11 13 14 817 768 8 9 Circunstncias em que o Mtodo Evolutivo pode no encontrar a Soluo tima Espao de solues desconexo timo global

timo local Fluxogramas de um sub-espao no so alcanados a partir do outro Circunstncias em que o Mtodo Evolutivo pode no encontrar a Soluo tima Fluxograma-base cercado por solues piores 7.5 Resoluo pelo Mtodo Evolutivo 7.5.1 Regras Evolutivas 7.5.2 Estratgia Evolutiva 7.6 Resoluo por Mtodo de Busca Orientada por rvore de Estados 7.6.1 O Mtodo Branch-and-Bound 7.6.2 O Mtodo de Rodrigo & Seader 7.6.3 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo de Rodrigo & Seader Relembrando o Captulo 6 Equipamentos Disponveis para o Processo Ilustrativo RM Reator de mistura RT Reator tubular DS A R Aquecedor Resfriador DE Coluna de destilao Coluna de destilao extrativa simples

T Trocador de Integrao 7.6.1 Mtodo Branch-and-Bound (ramificao com limites) Em cada estado abre-se uma bifurcao para os estados lgicos seguintes Uma ramificao interrompida sempre que o custo acumulado de um ramo ultrapassa o custo da melhor soluo completa at ento obtida. Gerao de uma soluo inicial por um critrio qualquer RM 10 1 0 RT 0 15 DS DE 60 acumulado 95 4 5 SI CI 65 75 30 11acumulado 12 120 acumulado limite superior ultrapassado 130 110 primeiro limite superior novo limite

superior 75% 2 110 DS DE 105 acumulado 60 110 SI CI 60 70 40 7 acumulado 8 15 130 10 3 Foram geradas 12 estruturas das 16 possveis 140 acumulado 105 Soluo novo limite limite superior ultrapassado superior 6 110 acumulado limite superior ultrapassado 7.6.1 Mtodo Branch-and-Bound (ramificao com limites) Como so examinados todos os fluxogramas, a soluo

necessariamente a tima Gerao de uma soluo inicial por um critrio qualquer RM 10 1 0 RT 0 15 DS DE 60 acumulado 95 4 5 SI CI 65 75 30 11acumulado 12 120 acumulado limite superior ultrapassado 130 110 primeiro limite superior novo limite superior 75% 2 110 DS DE 105

acumulado 60 110 SI CI 60 70 40 7 acumulado 8 15 130 10 3 Foram geradas 12 estruturas das 16 possveis 140 acumulado 105 Soluo novo limite limite superior ultrapassado superior 6 110 acumulado limite superior ultrapassado 7.6.1 Mtodo Branch-and-Bound (ramificao com limites) O tipo de busca utilizado na sequncia anterior... RM 10 1 DS 60 SI 60

3 7 130 primeiro limite superior 0 Seguindo um ramo da rvore at um estado final, denominado Busca Vertical 7.6.1 Mtodo Branch-and-Bound (ramificao com limites) Este outro tipo de busca Em que so gerados todos os descendentes de um estado para decidir sobre a direo a tomar, denominado RM 10 0 RT 0 15 1 DS 60 10 acumulado 2 15 DS DE 60 acumulado 95 DE 110 3

4 5 6 70 120 75 110 acumulado acumulado acumulado acumulado limite superior ultrapassado Busca Horizontal 7.5 Resoluo pelo Mtodo Evolutivo 7.5.1 Regras Evolutivas 7.5.2 Estratgia Evolutiva 7.6 Resoluo por Mtodo de Busca Orientada por rvore de Estados 7.6.1 O Mtodo Branch-and-Bound 7.6.2 O Mtodo de Rodrigo & Seader 7.6.3 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo de Rodrigo & Seader 7.6.1 O Mtodo de Rodrigo & Seader Trata-se de um "branch-and-bound" de busca horizontal que inclui uma heurstica: Em cada nvel, tomar as colunas na ordem crescente de custo (primeiro a de menor custo, etc.) Objetivo: gerar um limite bem baixo o mais cedo possvel Tratando-se de um mtodo tipo branch-and-bound, a soluo obtida necessariamente a SOLUO TIMA 7.5 Resoluo pelo Mtodo Evolutivo

7.5.1 Regras Evolutivas 7.5.2 Estratgia Evolutiva 7.6 Resoluo por Mtodo de Busca Orientada por rvore de Estados 7.6.1 O Mtodo Branch-and-Bound 7.6.2 O Mtodo de Rodrigo & Seader 7.6.3 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo de Rodrigo & Seader Incio: identificar as colunas que recebem a mistura inicial Coluna Alimentao $/ano Coluna Alimentao $/ano 1 A/BCDE 90 11 A/BC 59 2 AB/CDE 261 12 AB/C 197 3 ABC/DE

540 13 B/CD 247 4 ABCD/E 95 14 BC/D 500 5 A/BCD 85 15 C/DE 460 6 AB/CD 254 16 CD/E 64 7 ABC/D 510

17 A/B 15 8 B/CDE 254 18 B/C 190 9 BC/DE 530 19 C/D 420 10 BCD/E 94 20 D/E 32 A B C D A

A B C D E A B C D E DS B C D E DS E A B C D E A B C D E F DS C D E Orden-las por Custo crescente... 01. [A/BCDE] 04. [ABCD/E] 02. [AB/CDE] 03. [ABC/DE]

A B C A B 90 95 261 540 DS D E Colocando no primeiro nvel da rvore Tomar a de menor Custo 00 01 04 02 03 90 95 261 540 01. [A/BCDE] Separar BCDE Por questo de espao, sero seguidos os descentes de cada uma dessas colunas de cada vez, na sequncia de menor custo. Colunas que recebem o produto de fundo [BCDE] da Coluna 1 Coluna Alimentao $/ano

Coluna Alimentao $/ano 1 A/BCDE 90 11 A/BC 59 2 AB/CDE 261 12 AB/C 197 3 ABC/DE 540 13 B/CD 247 4 ABCD/E 95 14

BC/D 500 5 A/BCD 85 15 C/DE 460 6 AB/CD 254 16 CD/E 64 7 ABC/D 510 17 A/B 15 8 B/CDE 254 18

B/C 190 9 BC/DE 530 19 C/D 420 10 BCD/E 94 20 D/E 32 01. [A/BCDE] 90 10. [BCD/E] 08. [B/CDE] 09. [BC/DE] 10 94 254 530 94 (184) 10. [BCD/E] Separar BCD 01 08

90 (90) (Custo Acumulado) 254 (344) 09 530 (620) Colunas que recebem o produto de topo BCD da Coluna 10 Coluna Alimentao $/ano Coluna Alimentao $/ano 1 A/BCDE 90 11 A/BC 59 2 AB/CDE 261 12 AB/C 197 3

ABC/DE 540 13 B/CD 247 4 ABCD/E 95 14 BC/D 500 5 A/BCD 85 15 C/DE 460 6 AB/CD 254 16 CD/E 64 7 ABC/D

510 17 A/B 15 8 B/CDE 254 18 B/C 190 9 BC/DE 530 19 C/D 420 10 BCD/E 94 20 D/E 32 10. [BCD/E] 08. [B/CDE] 09. [BC/DE]

94 254 530 13. [B/CD] 247 14. [BC/D] 500 01 10 13 94 (184) 247 (431) 13. [B/CD] 08 14 500 (684) Separar CD 90 (90) (Custo Acumulado) 254 (344) 09 530 (620) Coluna que recebe o produto de fundo CD da Coluna 13 Coluna Alimentao $/ano Coluna Alimentao

$/ano 1 A/BCDE 90 11 A/BC 59 2 AB/CDE 261 12 AB/C 197 3 ABC/DE 540 13 B/CD 247 4 ABCD/E 95 14 BC/D

500 5 A/BCD 85 15 C/DE 460 6 AB/CD 254 16 CD/E 64 7 ABC/D 510 17 A/B 15 8 B/CDE 254 18 B/C 190

9 BC/DE 530 19 C/D 420 10 BCD/E 94 20 D/E 32 10. [BCD/E] 08. [B/CDE] 09. [BC/DE] 94 254 530 13. [B/CD] 247 14. [BC/D] 500 19. [C/D] 420 01 10 13 19 94 (184)

247 (431) 420 (851) primeiro limite 851 superior 14 08 500 (684) 90 (90) (Custo Acumulado) 254 (344) 09 851 530 (620) Coluna que recebe o produto de topo BC da Coluna 14 Coluna Alimentao $/ano Coluna Alimentao $/ano 1 A/BCDE 90 11 A/BC

59 2 AB/CDE 261 12 AB/C 197 3 ABC/DE 540 13 B/CD 247 4 ABCD/E 95 14 BC/D 500 5 A/BCD 85 15 C/DE 460

6 AB/CD 254 16 CD/E 64 7 ABC/D 510 17 A/B 15 8 B/CDE 254 18 B/C 190 9 BC/DE 530 19 C/D 420

10 BCD/E 94 20 D/E 32 10. [BCD/E] 08. [B/CDE] 09. [BC/DE] 94 254 530 13. [B/CD] 247 14. [BC/D] 500 19. [C/D] 420 18. [B/C] 190 01 10 94 (184) 08 90 (90) (Custo Acumulado) 254 (344) 09 08. [B/CDE] 13 247 (431)

14 500 (684) Separar CDE 851 19 851 420 (851) 18 190 (874) Ultrapassou o limite superior 530 (620) Colunas que recebem o produto de fundo CDE da Coluna 08 Coluna Alimentao $/ano Coluna Alimentao $/ano 1 A/BCDE 90 11 A/BC 59 2

AB/CDE 261 12 AB/C 197 3 ABC/DE 540 13 B/CD 247 4 ABCD/E 95 14 BC/D 500 5 A/BCD 85 15 C/DE 460 6 AB/CD

254 16 CD/E 64 7 ABC/D 510 17 A/B 15 8 B/CDE 254 18 B/C 190 9 BC/DE 530 19 C/D 420 10 BCD/E

94 20 D/E 32 10. [BCD/E] 08. [B/CDE] 09. [BC/DE] 94 254 530 13. [B/CD] 247 16. [CD/E] 64 14. [BC/D] 500 15. [C/DE] 460 01 10 94 (184) 08 13 247 (431) 14 500 (684) 19 420 (851) 18 190 (874) 851

16 19. [C/D] 420 18. [B/C] 190 90 (90) (Custo Acumulado) 254 (344) 64 (408) 16. [CD/E] 09 15 460 (804) Separar CD 530 (620) 10. [BCD/E] 08. [B/CDE] 09. [BC/DE] 94 254 530 13. [B/CD] 247 16. [CD/E] 64 14. [BC/D] 500 15. [C/DE] 460 01 10 13 247 (431)

94 (184) 14 08 500 (684) 16 64 (408) 19. [C/D] 420 18. [B/C] 190 90 (90) (Custo Acumulado) 254 (344) 15 09 460 (804) 851 19 851 420 (851) 18 190 (874) 19 828 420 (828) novo limite

superior 828 530 (620) Coluna que recebe o produto de fundo DE da Coluna 15 Coluna Alimentao $/ano Coluna Alimentao $/ano 1 A/BCDE 90 11 A/BC 59 2 AB/CDE 261 12 AB/C 197 3 ABC/DE 540 13

B/CD 247 4 ABCD/E 95 14 BC/D 500 5 A/BCD 85 15 C/DE 460 6 AB/CD 254 16 CD/E 64 7 ABC/D 510 17

A/B 15 8 B/CDE 254 18 B/C 190 9 BC/DE 530 19 C/D 420 10 BCD/E 94 20 D/E 32 10. [BCD/E] 08. [B/CDE] 09. [BC/DE] 94 254 530 13. [B/CD] 247 16. [CD/E] 64

14. [BC/D] 500 15. [C/DE] 460 01 828 13 247 (431) 18. [B/C] 190 20. [D/E] 32 851 10 19. [C/D] 420 94 (184) 14 08 500 (684) 16 64 (408) 90 (90) (Custo Acumulado) 254 (344) 15 09 460 (804) 530

(620) 09. [BC/DE] Separar BC e DE 19 851 420 (851) 18 190 (874) 19 828 420 (828) 20 32 (836) Ultrapassou o limite superior 10. [BCD/E] 08. [B/CDE] 09. [BC/DE] 94 254 530 13. [B/CD] 247 16. [CD/E] 64 14. [BC/D] 500 15. [C/DE] 460 01 828 13 247 (431)

18. [B/C] 190 20. [D/E] 32 851 10 19. [C/D] 420 94 (184) 14 08 500 (684) 16 64 (408) 90 (90) (Custo Acumulado) 254 (344) 15 09 460 (804) 530 (620) 20 32 (842) 19 851 420 (851)

18 190 (874) 19 828 420 (828) 20 32 (836) 18 190 Ultrapassou o limite superior Melhor soluo descendente da Coluna 01 01 10 13 247 (431) 94 (184) 14 08 500 (684) 16 64 (408) 90

(90) (Custo Acumulado) 254 (344) 15 09 460 (804) 530 (620) 20 32 (842) 19 851 420 (851) 18 190 (874) 19 828 420 (828) 20 32 (836) 18 190 Ultrapassou o limite superior A aplicao manual do Mtodo de Rodrigo & Seader na forma convencional da rvore de Estados no conveniente: (a) Se rvore for muito grande, no caber no papel.

(b) No havendo qualquer registro durante a evoluo da soluo, no possvel avaliar a sequncia utilizada Por estes motivos, esta representao no ser aceita numa Prova Em seu lugar, deve ser utilizada a representao alternativa de uma rvore de Estados sob a forma de Tabela 01. [A/BCDE] 90 10. [BCD/E] 94 08. [B/CDE] 254 09. [BC/DE] 530 13. [B/CD] 247 19. [C/D] 420 14. [BC/D] 500 18. [B/C] 190 20. [D/E] 32 16. [CD/E] 64 15. [C/DE] 460 Partindo da coluna 01 Soluo temporria: 01 08 16 19 COLUNA Custo da Coluna 01. [A/BCDE] 90 10. [BCD/E] 94 13. [B/CD] 247 19. [C/D] 420 14. [BC/D] 18. [B/C] 08. [B/CDE] 16. [CD/E] 19. [C/D] 500 190 254 64 420 15. [C/DE] 460 20. [D/E] 32 09. [BC/DE] 530

20. [D/E]+18. [B/C] 32+190 Custo Acumulado 90 184 431 851 (primeiro limite) 684 874 X 344 408 828 (novo limite) 804 836 X 620 842 X A B C D A A B C D E A B C D E DS B C D E DS E 01. [A/BCDE] 04. [ABCD/E]

02. [AB/CDE] 03. [ABC/DE] A B C A B A B C D E A B C D E F DS C D E 90 95 261 540 DS D E 04. [ABCD/E] 95 05. [A/BCD] 85 06. [AB/CD] 254 07. [ABC/D] 510 13. [B/CD] 247 19. [C/D] 420 11. [A/BC] 59 14. [BC/D] 500 18. [B/C] 190 12. [AB/C] 197 17. [A/B] 15

Partindo da coluna 04 Limite atual: 828 COLUNA 04. [ABCD/E] 05. [A/BCD] 13. [B/CD] 19. [C/D] 14. [BC/D] 18. [B/C] 06. [AB/CD] 17. [A/B] + 19. [C/D] 07. [ABC/D] 11. [A/BC] 18. [B/C] 12. [AB/C] Custo da Coluna 95 85 247 420 500 190 254 15+420 510 59 190 197 Custo Acumulado 95 180 427 847 X 680 870 X 349 784 (Novo Limite) 605 664 854 X 802 X Soluo temporria: 04 06 17+19 A B C

D A A B C D E A B C D E DS B C D E DS E 01. [A/BCDE] 04. [ABCD/E] 02. [AB/CDE] 03. [ABC/DE] A B C A B A B C D E A B C D

E F DS C D E 90 95 261 540 DS D E 02. [AB/CDE] 261 16. [CD/E] 64 15. [C/DE] 460 17. [A/B] 15 19. [C/D] 420 20. [D/E] 32 Partindo da coluna 02 Limite atual: 784 COLUNA 02. [AB/CDE] 16. [CD/E] + 17. [A/B] 19. [C/D] 15. [C/DE] + 17. [A/B] 20. [D/E] Custo da Coluna 261 64+15 420 460+15 32 Novo Limite: 760 Custo Acumulado 261

340 760 (novo limite) 736 768 X Soluo temporria: 02 (16 + 17) 19 A B C D A A B C D E A B C D E DS B C D E DS E 01. [A/BCDE] 04. [ABCD/E] 02. [AB/CDE] 03. [ABC/DE] A B C A B

A B C D E A B C D E F DS C D E 90 95 261 540 DS D E 03. [ABC/DE] 540 11. [A/BC] 59 12. [AB/C] 197 18. [B/C] 190 17. [A/B] 15 20. [D/E] 32 Partindo da coluna 03 Limite atual: 760 COLUNA 03. [ABC/DE] 11. [A/BC] + 20. [D/E] 18. [B/C] 12. [AB/C] + 20. [D/E] 17. [A/B] Custo da Coluna

540 59 + 32 190 197 + 32 15 Custo Acumulado 540 631 821 X 769 X 784 X Soluo TIMA do Problema Ilustrativo pelo Mtodo de Rodrigo & Seader 02. [AB/CDE] 16. [CD/E] + 17. [A/B] 19. [C/D] 261 64 + 15 420 261 340 760 A A B B DB D C A B E D C C 1 D C D

E E As Solues na rvore de Estados 00 AB CDE A BCDE 01 B CDE 08 C DE BC DE B C BCD E 10 C B CD BC D 15 16 18 13

14 D E C D D E C D B C 20 19 20 19 18 01 01 02 03 04 05 DE DE ABCD E 03 02 09 CD E ABC

CD E A BC 04 AB C A BCD 15 16 11 12 D E C D B C A B B CD 20 19 18 17 13 D E D E 17 20 20 07

08 09 A B 17 06 A B apoiada tima ABC A B CD 05 06 A 14 17 11 C D B C C 19 18 19 intuitiva D

07 A B 10 BC 11 12 D D B 18 13 BC AB C 12 C A B 17 14 7. SNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAO 7.1 Sistemas de Separao 7.2 O Problema de Sntese 7.2.1 Enunciado 7.2.2 Problema Ilustrativo 7.2.3 Soluo 7.2.4 A Natureza Combinatria do Problema de Sntese 7.2.5 Representao de Misturas por Listas 7.3 Representao do Problema de Sntese 7.3.1 Representao por rvores de Estado

7.3.2 Representao por Superestrutura 7.4 Resoluo pelo Mtodo Heurstico 7.4.1 Regras Heursticas para Sistemas de Separao 7.4.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo Heurstico 7.5 Resoluo pelo Mtodo Evolutivo 7.5.1 Regras Evolutivas 7.5.2 Estratgia Evolutiva 7.6 Resoluo por Mtodo de Busca Orientada por rvore de Estados 7.6.1 Descrio do Mtodo de Rodrigo & Seader 7.6.2 Resoluo do Problema Ilustrativo pelo Mtodo de Rodrigo & Seader - Rodrigo & Seader: percorre todo o espao de solues. Soluo tima - Evolutivo: percorre seletivamente parte do espao de solues. Soluo no necessariamente tima. - Heurstico: no percorre o espao de solues. Soluo prxima tima. Resolver os Problemas 7.1 a 7.5 do Livro Segue material adicional Problema 7.3 (Henley & Seader) Problema 7.3 (Henley & Seader) A A F E B SISTEMA DE SEPARAO C D ? E B

D C F Componente Propano Buteno-1 n - Butano t Buteno-2 c Buteno-2 n - Pentano Smbolo A B C D E F Processos Cogitados Destilao Simples Destilao Extrativa (c/ soluo aquosa de furfural) ocorre a inverso da ordem de B e C Exploso Combinatria na Sntese de Sistemas de Separao N: No. de fluxogramas possveis [2(C 1)]! C 1 N P (C 1)! C! C: No. de componentes P: No. de processos plausveis Nmero de Fluxogramas Possveis C Problema Ilustrativo 2 D e E juntos P=1 P=2

P=3 2 3 4 5 6 7 8 1 2 5 14 42 132 429 2 8 40 224 1.344 8.448 54.912 3 18 135 1.134 10.206 96.228 938.223 9 10 1.430 4.862 366.080 2.487.344 7.382.230 95.698.746 Desafio: achar a soluo tima (ou prxima da tima)

Espao das 224 Solues do Problema 7.3 Nmero de separadores passveis de utilizao para cada processo: S = C (C-1)(C+1)/6 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 S 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 O sistema, com duas operaes plausveis, contempla 40 colunas que se combinariam para gerar as 224 solues. Na resoluo deste problema, 21 colunas apresentaram um custo muito elevado e comprometeriam qualquer fluxograma em que aparecessem. Elas foram classificadas como proibidas e omitidas na Tabela 7.2, em que somente aparecem as 19 "permitidas" pre-screening Coluna Alimentao $/ano Coluna Alimentao $/ano 1 (A/BCDEF)1

33,8 11 (B/CDE)1 246,7 2 (AB/CDEF)1 256,3 12 (C/BDE)2 985,5 3 (ABCDE/F)1 77,4 13 (BDE/F)1 46,6 4 (AC/BDEF)2 1.047,5 14 (CDE/F)1 68,3 5 (A/BCDE)1 32,8

15 (C/DEF)2 582,2 6 (AB/CDE)1 254,2 16 (C/DE)2 521,3 7 (AC/BDE)2 981,6 17 (DE/F)1 35,2 8 (B/CDEF)1 249,0 18 (A/B)1 14,5 9 (BCDE/F)1 76,2

19 (A/C)1 21,1 10 (C/BDEF)2 1.047,0 As alternativas por destilao extrativa (em vermelho) so mais caras porque incluem uma coluna para a recuperao do furfural. A nica coluna sem alternativa por destilao simples (C/DE) que deve ser muito cara em funo da dificuldade deste corte. Coluna Alimentao $/ano Coluna Alimentao $/ano 1 (A/BCDEF)1 33,8 11 (B/CDE)1 246,7 2 (AB/CDEF)1 256,3 12 (C/BDE)2

985,5 3 (ABCDE/F)1 77,4 13 (BDE/F)1 46,6 4 (AC/BDEF)2 1.047,5 14 (CDE/F)1 68,3 5 (A/BCDE)1 32,8 15 (C/DEF)2 582,2 6 (AB/CDE)1 254,2 16 (C/DE)2 521,3

7 (AC/BDE)2 981,6 17 (DE/F)1 35,2 8 (B/CDEF)1 249,0 18 (A/B)1 14,5 9 (BCDE/F)1 76,2 19 (A/C)1 21,1 10 (C/BDEF)2 1.047,0 Espao Reduzido das Solues do Problema 7.3 As 12 solues que podem ser concretizadas com as 19 colunas "permitidas" Espao Reduzido das 12 Solues permitidas do Problema 7.3

do total das 224 possveis 4 5 7 12 6 10 3 11 8 1 2 9 rvore de Estados para as 12 solues "permitidas" do total das 224 possveis 00 02 01 09 10 08 14 18 11 12 14 15

13 16 04 03 15 05 06 07 13 18 17 19 11 12 18 19 16 16 16 1 2 3 17 4 16

5 6 7 8 9 10 11 12 Resoluo do Problema 7.3 pelo Mtodo Heurstico Apoiado Um problema peculiar: h duas operaes de separao plausveis. No h regras para lidar com duas operaes: apenas o bom senso. Optamos por considerar as operaes separadamente, como se a outra no estivesse sendo considerada. COLUNA 01 COMPONENTE A B C D E F Propano Buteno-1 n-Butano t-Buteno-2 c-Buteno-2 n-Pentano VAZO kmol/h 4,5 45,4 154,7 48,1 36,7

18,1 Por Destilao Simples R = 1,07/2,50 = 0,43 (A/C fora da anlise) A Q = 4,5/154,7 = 0,03 B C V1 = Min (1 - Q,R) = 0,43 D V2 = Min (Q,1 - R) = 0,03 E V3 = Min (Q, R) = 0,03 Cortes permitidos S (A/B) = 2,45 (A/C) = 2,89 (B/C) = 1,18 (C/D) = 1,07 (E/F) = 2,50 E (C/B) = 1,17 (C/D) = 1,70 Por Destilao Extrativa R = 1/1,17 = 0,85 (C/D fora da anlise) Q = 4,5 / 154,7 = 0,03 A C V1 = Min (1-Q,R) = 0,85 B D V2 = Min (Q,1-R) = 0,03 E V3 = Min (Q, R) = 0,03 OBS: = 1 o menor valor possvel Por destilao simples, a Regra 1 a Por destilao extrativa, tambm a Regra 1 preferida. Mas o Butano se encontra no a indicada. Para deixar C na ponta da lista meio da lista. Para deix-lo na ponta da seguinte, a nica coluna "permitida" a 4 lista seguinte, (B/C) mais fcil do que (AC/BDEF). (C/D).

Os cortes (B/C) e (C/B) se Destilao Simples equivalem (1,18 x 1,17) mas a Destilao Extrativa destilao extrativa inclui um A A componente estranho (furfural). B C C B Regra 5: Evitar separaes que exigem D D espcies estranhas mistura, removendoE E as logo que possvel no caso de se ter que F F us-las. COMPONENTE A B C D E F Propano Buteno-1 n-Butano t-Buteno-2 c-Buteno-2 n-Pentano VAZO kgmol/h 4,5 45,4 154,7 48,1 36,7 18,1 S (A/B) = 2,45 (A/C) = 2,89 (B/C) = 1,18

(C/D) = 1,07 (E/F) = 2,50 E (C/B) = 1,17 (C/D) = 1,70 Por destilao simples, a Regra 1 a preferida. Mas o Butano se encontra no meio da lista. Para deix-lo na ponta da lista seguinte, (B/C) mais fcil do que (C/D). Destilao Simples A B C D E F Por destilao extrativa, tambm a Regra 1 a indicada. Para deixar C na ponta da lista seguinte, a nica coluna "permitida" a 4 (AC/BDEF). Os cortes (B/C) e (C/B) se equivalem (1,18 x 1,17) mas a destilao extrativa inclui um componente estranho (furfural). Destilao Extrativa Coluna 01 A B C D E F A B Destilao Simples C D E F

A C B D E F Obs: as colunas que envolvem o corte C/D por destilao simples, so proibidas. Coluna Alimentao $/ano Coluna Alimentao $/ano 1 (A/BCDEF)1 33,8 11 (B/CDE)1 246,7 2 (AB/CDEF)1 256,3 12 (C/BDE)2 985,5 3 (ABCDE/F)1 77,4

13 (BDE/F)1 46,6 4 (AC/BDEF)2 1.047,5 14 (CDE/F)1 68,3 5 (A/BCDE)1 32,8 15 (C/DEF)2 582,2 6 (AB/CDE)1 254,2 16 (C/DE)2 521,3 7 (AC/BDE)2 981,6

17 (DE/F)1 35,2 8 (B/CDEF)1 249,0 18 (A/B)1 14,5 9 (BCDE/F)1 76,2 19 (A/C)1 21,1 10 (C/BDEF)2 1.047,0 COLUNA 02 S E (C/D) = 1,07 (E/F) = 2,50 (C/D) = 1,70 COMPONENTE VAZO C

D E F n-Butano t-Buteno-2 c-Buteno-2 n-Pentano kmol/h 154,7 48,1 36,7 18,1 Por Destilao Simples C D E F R = 1,07/2,50 = 0,43 Q = 18,1/154,7 = 0,12 V1 = Min (1-Q,R) = 0,43 V2 = Min (Q,1-R) = 0,12 V3 = Min (Q, R) = 0,12 C D E F (proibida) Por Destilao Extrativa nica alternativa permitida: COLUNA 02 C D E F 2 C D E F

C D E F COLUNA 03 COMPONENTE D E F t-Buteno-2 c-Buteno-2 n-Pentano VAZO kmol/h 48,1 36,7 18,1 A D E F Como D e E tm mesmo destino: A E F B E BD C D C F D E F 2

proibida D E F 1 Soluo do Problema 7.3 pelo Mtodo Heurstico Apoiado A A B Destilao A B C D E F 1 256,3 A B 1 B B E D 1 D 14,5 C D E F 2 582,2 D E F 1 35,2 D C A

F B E 1 E C 1 f C F D E 2 F 1 C = 888 F D Ef F D E Soluo 888 $/a Por curiosidade: se a opo do destilao extrativa houvesse sido tomada para a Coluna 1 nicas colunas permitidas Destilao Simples A B C D E F 1 256,3 A B

1 14,5 C D E F 2 582,2 C = 888 Fluxograma 7 D E F 1 35,2 Destilao Extrativa A C B D E F 2 1.047,5 A C 1 21,1 B D E F 1 46,6 C = 1.115 Resoluo do Problema 7.3 pelo Mtodo Evolutivo Partindo da soluo apoiada Espao Reduzido das 12 Solues permitidas do Problema 7.3 do total das 224 possveis Vizinhana Estrutural ainda no identificada 4 5

7 12 6 10 3 11 8 1 2 9 Espao das 12 solues permitidas do Problema 7.3 Vizinhana Estrutural Heurstico apoiado 7 4 12 888 5 Evolutivo 6 10 11 860 3 8 1 2 9 1.096

Heurstico intuitivo Resoluo do Problema 7.3 pelo Mtodo Evolutivo Partindo da soluo intuitiva Base: Fluxograma 9 obtido pelo Mtodo Heurstico (intuitivo) A A B B C C D B D E F C E 1 3 COLUNA CUSTO ($/a) 3 77,4 5 32,8 12 985,5 TOTAL 1.095,7 5 D

1 E 2 12 Evoluo 9 1096 A D C A E B C 1 C B E C B E D D C A F B E 1 00 2 F D B E 01 09 10

08 02 14 18 11 12 14 15 13 16 04 03 15 05 06 07 13 18 17 19 11 12 18 19 16 16

16 1 2 3 17 4 16 5 6 7 8 9 1.096 10 11 12 Fluxograma 9 A B C D E F A B C D E 1 C

1 5 3 B D E 2 12 Vizinhos do Fluxograma 9 Regra (a): inverso (3 5) Fluxograma 2 inverso (5 12) [A/B]2 "proibida" Regra (b): [E/F]2, [A/B]2 "proibidos" [B/C]1 permitido Fluxograma 8 (omitido para manter a soluo do livro!) Fluxograma 2 B A B C D E F 1 C D E F 1 C 1 9 COLUNA 1 9 12 TOTAL

12 CUSTO ($/a) 33,8 76,2 985,5 1.095,5 Evoluo 9 1096 B D E a 2 1095 2 00 02 01 09 10 08 14 18 11 12 14 15 13 16

04 03 15 05 06 07 13 18 17 19 11 12 18 19 16 16 16 1 2 1.095 3 17 4 16 5

6 7 8 9 1.096 10 11 12 Fluxograma 2 B A B C D E F 1 C D E F 1 C 1 9 B D E 2 12 Vizinhos do Fluxograma 2 Regra (a): inverso (1 9) (anterior)

inverso 9 12 [CDE/F]2 proibida Regra (b): [A/B]2, [E/F]2 "proibidos" [B/C]1 permitido Fluxograma 1 Fluxograma 1 Vizinho do Fluxograma 2 pela troca de processo de separao Coluna 12 Coluna 11 B A C B D C E D E F B F 1 D 1 E 9 CUSTO ($/a) 33,8 76,2 246,7 521,3 878 D E 1

11 1 COLUNA 1 9 11 16 TOTAL C C 2 16 Evoluo 9 1096 a 2 1095 b 1 878 00 02 01 09 10 08 14 18 11

12 14 15 13 16 04 03 15 05 06 07 13 18 17 19 11 12 18 19 16 16 16 1 2 878 1.095

3 17 4 16 5 6 7 8 9 1.096 10 11 12 Fluxograma 1 B C D E A B C D E F 1 F 1 9 B 1

C D E C 1 11 D E 2 16 Vizinhos do Fluxograma 1 Regra (a): inverso 1 9 permitida Fluxograma 8 inverso 9 11 permitida Fluxograma 3 inverso 11 16: coluna [C/B]2 proibida Regra (b) : s permitida [C/B]2 fluxograma anterior. Fluxograma 8 Vizinho do Fluxograma 3 pela Inverso dos Cortes das Colunas 1 e 9 A B C D E F A B C D E 1 B C D E 1 5 CUSTO ($/a)

77,4 32,8 246,7 521,3 878,2 D E 1 11 3 COLUNA 3 5 11 16 TOTAL C 2 16 Evoluo 8 a a 9 1096 b 2 1095 1 878 878,2 00 02

01 09 10 08 14 18 11 12 14 15 13 16 04 03 15 05 06 07 13 18 17 19 11 12 18

19 16 16 16 1 2 878 1.095 3 17 4 16 5 6 7 8 9 878,2 1.096 10 11 12 Fluxograma 3 Vizinho do Fluxograma 1 pela Inverso dos Cortes das Colunas 9 e 11 A B B C D

E F C D E F 1 C D E 1 F 8 CUSTO ($/a) 33,8 249,0 68,3 521,3 872,4 D E 1 14 1 COLUNA 1 8 14 16 TOTAL C 2 16 Evoluo

8 a a 9 1096 878 b 2 1095 1 878 a 3 872 00 02 01 09 10 08 14 18 11 12 14 15 13 16 04

03 15 05 06 07 19 13 18 11 17 12 18 19 16 16 16 1 2 3 878 1.095 872 17 4 16 5 6 7

8 9 878 1.096 10 11 12 Fluxograma 3 A B B C D E F C D E F 1 1 8 C D E 1 F 14 C 1

D E 2 16 Vizinhos do Fluxograma 3 pela Regra (a): - inverso (1 8) permitida Fluxograma 6 - inverso (8 14) (anterior) - inverso (14 16): (E/F)2 proibida No h vizinho permitido pela Regra (b). Fluxograma 6 Vizinho do Fluxograma 3 pela Inverso dos Cortes das Colunas 1 e 8 COLUNA 2 18 14 16 TOTAL A A B C D E F 2 B 1 18 1 C D E C F

1 14 D E CUSTO ($/a) 256,3 14,5 68,3 521,3 860,4 2 16 Evoluo a 9 1096 8 a 878 b 2 1095 1 878 a a 3 6 872 860 00 02

01 09 10 08 14 18 11 12 14 15 13 16 04 03 15 05 06 07 13 18 17 19 11 12 18

19 16 16 16 1 2 878 1.095 3 872 17 4 16 5 6 860 7 8 9 878 1.096 10 11 12 Fluxograma 6 A A B C D

E F 2 B 1 18 1 C D E F 14 C 1 D E 2 16 Vizinhos do Fluxograma 6 pela Regra (a): inverso (2 18) (anterior) inverso (2 14) permitida Fluxograma 10 inverso (14 16): [E/F]2 proibida Pela Regra (b): [C/B]2 permitida Fluxograma 12 (valor da coluna 4 muito elevado) Fluxograma 10 Vizinho do Fluxograma 6 pela Inverso dos Cortes das Colunas 2 e 14 COLUNA 3 6 18 16 TOTAL A A B

C D E F A B C D E 1 B 1 18 C 1 D E 6 3 2 CUSTO ($/a) 77,4 254,2 14,5 521,3 867,4 16 Evoluo a 9 1096 8 a 878 b

2 1095 1 878 a a a 3 6 872 860 10 867 00 02 01 09 10 08 14 18 11 12 14 15 13 16

04 03 15 05 06 07 13 18 17 19 11 12 18 19 16 16 16 1 2 3 878 1.095 872 17 4 16 5

6 860 7 8 878 9 10 1.096 867 11 12 Fluxograma 6 A A B C D E F 2 B 1 18 1 C D E F 14 C 1 D E

2 16 Mediante o insucesso na evoluo a partir do Fluxograma 6 ... Fluxograma 6 Soluo do Problema 7.3 pelo Mtodo Evolutivo COLUNA 2 18 14 16 TOTAL A A B C D E F B 1 18 1 2 C D E C F 1 14 D E 2

16 Evoluo Estado Final CUSTO ($/a) 256,3 14,5 68,3 521,3 860 a 9 1096 8 a 878 b 2 1095 1 878 a a 3 6 872 860 Soluo do Problema 7.3 pelo Mtodo Evolutivo A A B 1 B D C

A F B E B E D C f D E 1 E D C 2 1 f D E f 1 C F D E 860 $/a F FLUXOGRAMA 6 Para corroborar a escolha da Regra menos fraca Base: Problema Ilustrativo Senso Comum O custo de cada separador diretamente proporcional (a) vazo de alimentao (quanto maior a alimentao, maior o custo do separador) (b) dificuldade de separao (quanto mais difcil a separao, maior o custo do separador) O custo inclui as dimenses dos equipamentos e o consumo de

energia. Exemplo Separao Completa de 4 Componentes por um nico Tipo de Separador: 5 fluxogramas possveis 1 (a) Conveno Di: vazo do componente i ij : diferena da propriedade entre os componentes i e j. Quanto menor, mais difcil a separao maior o custo. 1 2 3 4 2 2 3 4 3 3 4 4 De acordo com o Senso Comum, o Custo financeiro deve ser proporcional a: D1 + D2 + D3 + D4 D2 + D3 + D4 D3 + D4 + + 12 23 34 Para as demais configuraes (b) (c) 1

1 2 2 1 2 1 2 3 3 2 4 3 1 2 2 3 4 3 4 4 D1 + D2 + D3 + D4 D2 + D3 + D4 D2 + D3 + + 12 34 23 3 3 4 4 D 1 + D 2 + D 3 + D 4 D1 + D 2 D 3 + D 4 +

+ 23 12 34 (d) 1 (e) 1 1 2 1 2 1 2 2 3 1 2 3 3 4 1 2 3 2 2 3 3 4

4 4 D1 + D 2 + D 3 + D 4 D1 + D 2 + D 3 D1 + D 2 + + 34 23 12 3 D1 + D 2 + D 3 + D 4 D1 + D 2 + D 3 D 2 + D 3 + + 34 12 23 UM CENRIO PARA TESTAR A REGRA 1 Regra 1: Se as [vazes diferem muito e a dificuldade dos cortes no difere muito], ento [remover primeiro o componente com a maior vazo]. Se as [vazes no diferem muito e a dificuldade dos cortes no difere muito], ento [separar em partes iguais]. UM CENRIO EXTREMO (radicalizando...) Dificuldades igualmente fceis/difceis: 12 = 23 = 34 = Alimentao D1 D2 D3 D4 Caso 1 10D D D D Caso 2 D D D D

12 = 23 = 34 = (levando ao extremo: igualmente fceis/difceis) Alimentao D1 D2 D3 D4 Caso 1 10D D D D Caso 2 D D D D Fluxograma (a) (b) (c) (d) (e) Caso 2 9 (D/) 9 (D/) 8 (D/) 9 (D/) 9 (D/) Caso 1: (a), (b): componente 1 logo removido. Caso 2: (c): cortes em partes iguais. 1 2 3 4 2 2 3 3

4 3 4 1 (b) 2 4 2 1 2 3 4 Substituindo nas somas das vazes Custo Caso 1 18 (D/) 18 (D/) 26 (D/) 36 (D/) 27 (D/) 1 (a) 3 2 3 4 4 1 (c) 1 2 3 4 1 2

2 3 3 4 4 UM CENRIO PARA TESTAR A REGRA 2 Regra 2: Se a dificuldade dos cortes difere muito mas as vazes no diferem muito, ento deixar por ltimo a separao mais difcil (ou a mais fcil primeiro). UM CENRIO EXTREMO (radicalizando...) Quantidades iguais: D1 = D2 = D3 = D4 = D 12 = 34 = 23 = /10 (a mais difcil) D1 = D2 = D3 = D4 = D (levando ao extremo: quantidades iguais) 12 = 34 = 23 = /10 (mais difcil) (b) 1 Substituindo nas somas das vazes Fluxograma (a) (b) (c ) (d) (e) "Custo 36 (D/ ) 27 (D/ ) 44 (D/ ) 36 (D/ ) 27 (D/ ) 2 2 1 2 3

3 2 4 3 3 4 4 (e) (b), (e ): separao mais difcil por ltimo 1 2 1 1 2 3 2 2 3 3 4 4 3 Estados percorridos durante gerao do fluxograma Captulo 6: apenas 2 separadores plausveis A,B A Estado Inicial RT 0 T

RT RM 2 DS DE 3 5 4 SI CI 7 8 SI DS P 1 DS A,P SI CI 9 10 11 Estado intermedirio DE

Estado intermedirio CI 6 SI 12 13 Estado final rvore completa com todos os Estados Fluxograma completo Um dos ramos da rvore de estados CI 14

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